Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Формулы прямоугольников



Обозначим . Заменим интеграл интегральной суммой, вычисляя площадь под графиком функции как сумму площадей прямоугольников с основанием h, высотами .

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим первую формулу прямоугольников

.

Если на первом отрезке высоту прямоугольника можно выбрать как , тогда на последнем отрезке высота прямоугольника . Получим вторую формулу прямоугольников

.

Оценим погрешность формул прямоугольников. Разложим в ряд Тейлора и оценим остаточный член.

Для первой формулы прямоугольников

где .

Для второй формулы прямоугольников

где .

Таким образом, обе формулы прямоугольников дают погрешность порядка h и являются формулами первого порядка точности.

Можно повысить точность формулы прямоугольников за счет вычисления функции в серединах отрезков разбиения. Получаем третью формулу прямоугольников

.

Оценим погрешность этой формулы.

+

+0+

Таким образом, погрешность третьей формулы прямоугольников не превышает , где . Эта формула прямоугольников имеет второй порядок точности.

2. Формула трапеций.

Сложим первую и вторую формулы прямоугольников и разделим пополам. Получим формулу трапеций

Поясним название формулы. Приблизим площадь под графиком функции на отрезке площадью трапеции . Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим

Аппроксимируем функцию кусочно – линейной функцией, значения которой совпадают с значениями функции в точках разбиения. Площадь под графиком кусочно – линейной функции на отрезке составит

. Суммируя площади по всему отрезку интегрирования, получим вновь формулу трапеций.

Можно показать, что формула трапеций – формула второго порядка точности. Погрешность вычисления интеграла с помощью этой формулы (это можно показать) не превышает , т.е. в два раза больше, чем по третьей формуле прямоугольников.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 270 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...