Формула Остроградского – Лиувилля

Рассмотрим линейное однородное уравнение

.

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

.

Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.

Известна формула для производной определителя

.

Вычислим ...+

0+...+0+ .

, .

Замечание. В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.

Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка.

. Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения

., . Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.

.

Так как , то = .

Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля