Исчисление высказываний

Исчислением называют составную часть некоторых разделов математики, трактующих правила вычислений и оперирования с объектами того или иного типа. Например, говорят о дифференциальном, интегральном, вариационном и т.д. исчислениях.

В исчислении высказываний объектами исследований являются высказывания. Их исчисление служит для формализации способов логических рассуждений, в которых учитывается лишь логическая структура высказываний, а именно: как одни высказывания получены из других с помощью таких логических операций, как отрицание, конъюнкция дизъюнкция и импликация. Обратим внимание, что сюда не входит операция эквиваленции. В одних литературных источниках данную операцию в этот список включают, в других – нет (например, в математической энциклопедии эта операция в список не включена).

В алгебре логики (высказываний) мы под термином “высказывание” понимали любое повествовательное предложение, о котором можно было сказать, истинно оно или ложно. При этом мы испытывали затруднения, когда вставал вопрос о том, считать ли некоторое повествовательное предложение высказыванием, если о его истинности или ложности нельзя было сказать ничего определенного. Поэтому очевидно, что для построения логической теории, которая позволяла бы формализовать процесс получения одних высказываний из других, пользоваться понятиями истинности и ложности нет необходимости. Исчисление высказываний, как раздел математической логики, построено таким образом, что в нем не используются понятия истинности и ложности и не применяются сами законы алгебры логики.

Оно является аксиоматической системой. А в основе любой аксиоматической системы лежит совокупность аксиом, с помощью которых, а также определенных правил вывода, получаются новые знания, в частности теоремы.

Возникает вопрос, что такое теорема? Еще со средней школы мы усвоили, что под теоремой понимается всякое утверждение, в истинности которого убеждаются при помощи доказательства. Но теперь встает очередной вопрос: а что такое доказательство? Ответив на этот вопрос, мы ответим и на первый.

В современной математике под доказательством понимают конечную последовательность высказываний каждое из которых является либо аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам.

Отсюда теоремой, или доказуемым высказыванием, называется высказывание, являющееся последним высказыванием некоторого доказательства.

Принято считать, что аксиома – это некоторое исходное положение, принимаемое в данной науке без доказательства. Или об аксиоме говорят, что это самоочевидная истина, не требующая доказательства. При таком взгляде на аксиому считается, что её истинность подтверждается многочисленными опытами и практикой. Однако в математической логике считается, что аксиома – это все-таки теорема, причем ее доказательство состоит из одного шага.