Интервальные оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте

Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу: .

Если достаточно велико и не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причём . Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство: .

Приступим к построению доверительного интервала , который с надежностью покрывает оцениваемый параметр . Потребуем, чтобы с надежностью выполнялось соотношение указанное выше равенство: .

Заменив , получим:

, где . Отсюда и, следовательно, .

Заменим q на 1-p, t на величину . Значение этой величины зависит от надежности и объема выборки и определяется по таблице значений , и получим неравенство: .

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Пусть > р. Тогда . Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно :

.

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные:

меньший корень

;

больший корень:

Здесь решение уравнения .

При больших n можно пользоваться более простыми формулами:

.