Неравенство Чебышева

Как известно, для произвольной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией имеет место неравенство Чебышёва

. (66)

Пример 1. Пусть случайная величина - количество успехов в n независимых испытаниях с постоянной вероятностью p успеха A в каждом испытании, то есть распределение Бернулли (или биномиальное распределение). Известно (см. раздел 14, пример 3, формулы (57)), что математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны , и неравенство Че-бышёва имеет для нее такой вид

. (67)

Пусть - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями . Среднее арифметическое первых n случайных величин

имеет математическое ожидание

и дисперсию

.

Пользуясь неравенством Чебышёва (66), получаем оценку отклонения среднего арифметического независимых случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий, а именно:

. (68)

Допустим, что дисперсии всех случайных величин в неравенстве (68) не более одного и то же числа C,

. (69)

Оценка (68) принимает тогда следующий вид:

. (70)

Предположим далее, что все случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание . Получаем еще более простое неравенство (при том же условии (69))

. (71)

Пусть, наконец, случайные величины , - количества нас-туплений некоторого события A в i -ом испытании с постоянной вероятностью события. Тогда сумма

представляет собой распределение Бернулли (количество наступлений события A в n независимых испытаниях с ), а отношение

- относительной частотой этого события. Известно, что

,

и, следовательно, неравенство (71) переходит в следующее

, (72)

дающее оценку вероятности отклонения относительной частоты события A от его вероятности.

Пример 2. Выведите самостоятельно неравенство (72) с помощью неравенства (67).

Пример 3. Случайная величина имеет математическое ожидание 5 и среднеквадратическое отклонение 0.3. С помощью неравенства Чебышёва найти вероятность попадания значений в интервал .

Имеем

,

откуда по неравенству Чебышёва (66) при имеем

.

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0.51. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что среди 1000 новорожденных детей мальчиков будет не менее 470 и не более 550.

Пусть случайная величина означает количество мальчиков среди 1000 новорожденных. представляет собой распределение Бернулли с математическим ожиданием , поэтому

,

откуда на основании формулы (73) при получаем

.

Пример 5. Дисперсия каждой из независимых случайных величин не превышает 10. С помощью неравенства Чебышёва найти наименьшее количество n, при котором с вероятностью, не меньшей 0.95, отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего ариф­метического их математических ожиданий не превышает 0.20.

На основании формулы (70) (при ) мы должны найти наименьшее значение n из следующего соотношения

.

Фактически речь идет о решении неравенства

,

которое после очевидных преобразований дает

.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяет случайных величин , то есть величины .

Пример 6. Игральная кость подбрасывается 5000 раз. Какое отклонение относительной частоты выпадения шестерки от вероятности ее выпадения мо-жно ожидать с вероятностью, не меньшей 0.9?

Пусть - количество выпадений шестерки при n = 5000 бросаниях игра-льной кости. Относительная частота и вероятность ее выпадения соответственно равны , и по формуле (72) при имеем

.

Следовательно, .

Таким образом, с вероятностью, не меньшей 0.9, абсолютная величина отклонения относительной частоты выпадения шестерки от вероятности ее выпадения приблизительно равна 0.0167.