![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Средняя величина – это обобщающая характеристика варьирующего признака единиц качественно однородной совокупности.
Средние величины используются в планировании, анализе выполнения планов, расчетах экономической эффективности общественного производства и т.д. Сравнивая изменение средних уровней во времени, статистика тем самым характеризует важнейшие закономерности развития явлений.
В статистике применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая средняя квадратическая и средняя кубическая.
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она рассчитывается в двух формах – простой и взвешенной.
Средняя арифметическая простая называется так потому, что в основе ее вычисления лежит простое суммирование. Чтобы определить ее, все показатели варьирующего признака суммируются и делятся на их количество.
Формула средней арифметической простой:
, где х – варианты; n – число вариант.
Формула средней арифметической взвешенной:
, где х – варианты; f – веса.
Эта средняя называется взвешенной потому, что для ее определения значения признака, по которым эта средняя исчисляется, не просто складываются, а предварительно умножаются на частоту (взвешиваются).
Применяется эта средняя в том случае, если показатели в совокупности встречаются несколько раз (т.е. повторяются).
Иногда среднюю арифметическую величину исчисляют по данным интервального вариационного ряда (когда варианты представлены в виде интервалов «от – до»). Для исчисления средней нужно прежде всего получить середину интервала каждой группы, а затем расчет производится по формуле арифметической взвешенной.
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:
, где х – варианты; W – объем признака.
Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда отсутствует показатель частоты. Она представляет собой величину обратную средней арифметической из обратных значений признака
Модой называют то значение признака, которое наиболее часто встречается в данной совокупности.
Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:
М0 = хмо + iмо * , где
хмо - нижняя граница интервала, содержащего моду;
iмо - величина модального интервала;
fмо - частота модального интервала;
fмо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;
fмо+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Медианой называют значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.
Ме = хме + iме * , где
хме - нижняя граница интервала, содержащего медиану;
iме - величина медианного интервала;
∑f - сумма частот;
S ме-1 - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fме – частота медианного интервала.
Изменение значений признака в пределах изучаемой совокупности называется вариацией.
Для характеристики величины колебания признака в статистике вычисляют следующие показатели вариации:
· размах вариации;
· среднее линейное отклонение;
· средний квадрат отклонения (дисперсия);
· среднее квадратическое отклонение;
· коэффициент вариации.
Абсолютные и относительные показатели вариации, характеризующие изменчивость значений признака, позволяют оценить степень однородности совокупности, типичности и устойчивости средней.
Размах вариации (R) – наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями признака
R = xmax – xmin, где
xmax – наибольшее значение признака;
xmin – наименьшее значение признака.
Среднее линейное отклонение (ι) – этосредняяарифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от общей средней.
(простое);
(взвешенное);
Средний квадрат отклонения, или дисперсия – представляет собой среднюю арифметическую из квадратов отклонений вариант от общей средней
=
(простая);
=
(взвешенная)
Среднее квадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии
;
;
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются абсолютными показателями вариации
Коэффициент вариации является относительным показателем вариации, выражается в %. Он представляет собой отношение среднего квардратического отклонения к средней величине признака:
V=
Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее типична средняя величина, тем менее она характеризует изучаемое явление.
Пример:
По трем предприятиям, вырабатывающим один вид изделий, известны следующие данные за отчетный месяц:
Предприятие | Число рабочих | Выработка на одного рабочего, шт. | Себестоимость единицы продукции, тыс. руб. |
30,0 | |||
25,0 | |||
22,0 |
Определите: 1) среднюю выработку одного рабочего; 2) среднюю себестоимость единицы продукции; 3)среднюю численность рабочих на одно предприятие.
Решение
1. Определим среднюю выработку одного рабочего:
2. Определим среднюю себестоимость единицы продукции:
3. Определим среднее число рабочих:
Пример:
Имеются данные о распределении 100 ткачих по дневной выработке:
Дневная выработка, м | До 80 | 80-100 | 100-120 | 120 и выше |
Число ткачих |
На основании данных вычислите:
1. среднюю дневную выработку 1 ткачихи;
2. моду и медиану
Решение
Дневная выработка, м | Число ткачих f | Средина интервала (х) | xf | Накопленные частоты |
До 80 | ||||
80-100 | ||||
100-120 | ||||
120 и выше | ||||
Итого: | - |
1. Средняя дневная выработка одной ткачихи определяется по формуле средней арифметической взвешенной
2. Модальное значение выработки вычислим по формуле
М0 = хмо + iмо *
3.Значение медианы вычислим по формуле:
Ме = хме + iме *
Пример:
По обувной фабрике имеются следующие данные:
№ цеха | 1 квартал | 2 квартал | ||
Производственный брак,% (х) | Фактический выпуск продукции, млн. руб. (f) | Производственный брак,% (x) | Стоимость бракованной продукции, млн. руб. (W) | |
1,4 | 1,2 | 6,0 | ||
0,8 | 0,7 | 6,2 | ||
1,2 | 1,0 | 7,1 |
Определите процент брака в среднем по фабрике за 1 и 2 кварталы
Сделайте вывод.
Решение:
Средний процент брака за 1 квартал определяется по формуле:
Средний процент брака за 2 квартал определяется по формуле:
Вывод: удельный вес бракованной продукции во втором квартале по сравнению с первым уменьшился на 0,2%.
Пример:
Известны данные о распределении 20 заводов отрасли по стоимости основных средств:
Группы заводов по размеру основных средств, млрд. руб. | Число заводов |
4-6 | |
6-8 | |
8-10 | |
10-12 | |
12-14 | |
Итого: |
Определите:
1) среднюю стоимость основных средств на один завод по отрасли;
2) размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте вывод.
Решение
Стоимость основных средств (млрд. руб.) | Число заводов | Середина интервала (х) | xf |
![]() |
I ![]() |
(![]() |
(![]() |
4-6 | -4,7 | 9,4 | 22,09 | 44,18 | |||
6-8 | -2,7 | 8,1 | 7,29 | 21,87 | |||
8-10 | -0,7 | 3,5 | 0,49 | 2,45 | |||
10-12 | 1,3 | 7,8 | 1,69 | 10,14 | |||
12-14 | 3,3 | 13,2 | 10,89 | 43,56 | |||
Итого | - | 122,2 |
1. Определим среднюю стоимость основных средств
млрд. руб.
2. Вычислим размах вариации
R = xmax – xmin,= 14 - 4 = 10 млрд. руб.
Определим среднее линейное отклонение
млрд. руб.
Дисперсию признака вычислим по следующей формуле
=
Среднее квадратическое отклонение
млрд. руб.
Коэффициент вариации
V=
Вывод: средняя стоимость основных средств по отрасли составляет 9,7 млрд. руб. Совокупность однородна, т.к. коэффициент вариации 25,4%, т.е. вариация признака умеренная.
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 2596 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!