Пример1

Пусть имеется следующее распределение 200 проб нити по крепости (графы 1 и 2 таблицы).

Исходя из гипотезы о нормальном распределении результатов испытаний необходимо выравнять ряд по кривой нормального распределения (т.е. рассчитать теоретические частоты) и оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев согласия: Пирсона (c²), Романовского и Колмогорова (l).

Крепость нити, г	Число проб	Середина интервала			j(t)	154*j(t)» f ‘
120 – 130			-36,4	-2,80	0,008
130 – 140			-26,4	-2,03	0,051
140 – 150			-16,4	-1,26	0,180
150 – 160			-6,4	-0,49	0,354
160 – 170			3,6	0,28	0,384
170 – 180			13,6	1,05	0,230
180 – 190			23,6	1,82	0,076
190 – 200			33,6	2,58	0,014
Итого		-	-	-	-

Для нахождения теоретических частот используем формулу:

, или

где - нормированные отклонения от средней, т.е. и s - основные параметры кривой нормального распределения.

С них и начнем свои расчеты. Опуская вычисления, запишем результаты:

· = 161,4;

· s = 13.

Дальнейшие расчеты таковы:

· находим отклонения отдельных вариантов от средней (графа 4);

· делим каждое отклонение на s, т.е. находим нормированные отклонения (графа 5);

· зная t, находим по таблицам j(t) (графа 6);

· рассчитаем постоянный множитель const = Nh/s. В нашем примере const = 200*10/13 = 154;

· умножая последовательно 154 на j(t) и округляя результаты до целых чисел, находим теоретические частоты (графа 7).

Как видно из таблицы, теоретические частоты (f ^‘), близки к эмпирическим (f), хотя отдельные расхождения имеют место.

Для суждения о случайности или существенности этих расхождений используем ряд критериев согласия:

· Критерий Пирсона:

Расчет этого критерия рассмотрен в таблице:

f	f ‘	f – f ‘	(f – f ‘)2	(f – f ‘)2/f ‘
		-1		0,04
				0,16
		-3		0,15
		-1		0,03
				0,33
		-	-	c2 = 0,71

В рассматриваемом примере ряд имеет 8 групп (классов) вариантов, следовательно, и 8 групп частот. Поэтому число степеней свободы для последних (при выравнивании по кривой нормального распределения) k = 8 – 3 = 5. Примем наиболее часто используемый уровень значимости a = 0,05 и обратимся к таблицам («Значения c² – критерия Пирсона» при различных значениях уровня значимости (0,05; 0,01 и т.д.)).

По таблицам значений c²- критерия Пирсона для степеней свободы k = 5 и уровня значимости a = 0,05 определяем, что c²_табл.= 11,07. Так как полученное в задаче фактическое значение c²_факт.= 0,71, т.е. меньше табличного, то, следовательно, можно считать случайными расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами и выдвинутая гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не опровергается.

· Применим критерий Романовского:

Поскольку 1,4< 3, то можно считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными.

· Попробуем проверить нашу гипотезу с помощью критерия Колмогорова (). Для этого запишем накопленные частоты эмпирического и теоретического распределений и найдем максимальный разрыв между ними:

f	f ’	Накопленные частоты	ê s – s’ ê
эмпирическое (s)	теоретическое (s’)

Максимальный разрыв D = 2, поэтому =

По таблицам значений функции P(l) находим для l = 0,2, что Р = 1,000. Следовательно, вполне можно полагать, что расхождения между f и f ^‘ носят случайный характер.

П ример 2.

В течение рабочей недели производилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Число неисправностей (х)
Число станков (f)

Требуется:

1) вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону Пуассона;

2. оценить близость эмпирических и теоретических частот с помощью критериев Пирсона, Романовского и Колмогорова.

Решение:

а) Рассчитаем среднее число неисправностей:

б) Находим по таблицам значение =0,2466.

в) Подставляя в формулу значения = 0,1,2,3,4,5 получаем вероятности числа неисправностей от 0 до 5.

г) Умножив последние на 50 (общее число единиц распределения), получим теоретические частоты числа неисправностей, т.е.

.

Значения и (округленные до целого числа) показаны в приводимой ниже таблице:

	(теоретические частоты)= 50
0,2466
0,3452
0,2417
0,1128
0,0395
0,0111
Итого

Для оценки близости эмпирических и теоретических частот воспользуемся критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова.

· Критерий Пирсона: .

Все расчеты показаны в таблице:

	f	f ‘	f - f ‘	(f - f ‘ )2	(f - f ‘ )2/f ‘
					0.33
			-1		0.06
			-2		0.33
					0.17

Фактическое значение .

Находим критическое (табличное) значение при k = 6 – 2 =4 и , . Так как , т.е. 0.89< 9.49, то имеем все основания считать расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами случайными, а следовательно, не опровергнутой гипотезу о том, что распределение числа неисправностей подчиняется закону Пуассона.

· Применим критерий Романовского: = .

Следовательно, расхождения случайны.

· По критерию Колмогорова получаем: .

Накопленные частоты
Эмпирические (s)	Теоретические (s‘ )
		2 (D)

Таким образом, .

По таблицам находим, что P()»1.

Итак, все три критерия оценивают расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами как случайные, не опровергая тем самым выдвинутую гипотезу о том, что распределение станков по числу неисправностей подчиняется закону Пуассона.

Тема 7: ИНДЕКСЫ.

Понятие индекса.

В экономическом анализе индексы используются не только для сопоставления уровней изучаемого явления, но главным образом для определения экономической значимости причин, объясняющих абсолютное различие сравниваемых уровней.

Далее приведены два наиболее распространенных определения понятия экономический индекс:

Индекс – это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых величин).

Индекс – это относительная величина, показывающая во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях.

Различие условий может проявляться во времени (тогда говорят об индексах динамики), в пространстве (территориальные индексы), в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня, например планового показателя, уровня договорных обязательств и т.п. Соответственно вводят индекс выполнения обязательств или, если плановый уровень сравнивается с уровнем предыдущего периода, - индекс планового задания.

Индексы являются незаменимым инструментом исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Каждый индекс включает два вида данных: оцениваемые данные, которые принято называть отчетными и обозначать значком "1", и те данные, которые используются в качестве базы сравнения – базисные, обозначаемые значком "0".

Индекс, который строится как сравнение обобщенных величин, называется сводным (или общим) и обозначается I, если же сравниваются необобщенные величины, то индекс называется индивидуальным и обозначается i.

Индивидуальные индексы и сводные индексы в агрегатной форме.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности.

Относительная величина, получаемая при сравнении уровней, называется индивидуальным индексом, если исследователь не интересуется структурой изучаемого явления и количественную оценку уровня в данных условиях сравнивает с такой же конкретной величиной уровня этого явления в других условиях.

Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле: , где

р₁ – цена товара в текущем периоде;

р₀ – цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 30 руб., а в базисном 25 руб., то индивидуальный индекс цены: i_р = 30 /25 = 1,2 или 120,0 %.

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза, или на 20 %.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации: , где

q₁ – количество товара, реализованное в текущем периоде,

q₀ – количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота: .

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Если известно, что изучаемое явление неоднородно и сравнение уровней можно произвести только после приведения их к общей мере, экономический анализ выполняют посредством общих (сводных) индексов. Индекс, становится общим, когда в расчетной формуле показывается неоднородность изучаемой совокупности. Примером неоднородной совокупности является общая масса проданных товаров всех или нескольких видов. Тогда сумму выручки можно записать в виде агрегата (суммы произведений взвешивающего показателя на объемный).

Исходной формой сводного индекса является агрегатная.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы.

Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

.

На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким образом получают сводный индекс цен (по методу Пааше (Можно отметить, что сводный индекс цен можно получить и методом Ласпейреса, фиксируя количество проданного товара на базисном уровне: )): .

Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Третьим индексом в данной индексной системе является сводный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:

.

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

.

Пример. Имеются следующие данные о реализации плодово-ягодной продукции в области:

Наименование товара	Июль	Август	Расчетные графы, руб.
Цена за 1 кг., руб. p0	Продано, т q0	Цена за 1 кг., руб. р1	Продано, т q1	p0q0	p1q1	p0q1
Черешня
Персики
Виноград
Итого	х	х	х	х

Рассчитать индекс товарооборота.

Решение.

= 618/ 638 = 0,969, или 96,9 %.

Мы получили, что товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 3.1 % (100 – 96.9). Отметим, что объем товарной группы при расчете этого и последующих индексов значения не имеет. Вычислим сводный индекс цен: = 618 / 693 = 0,892, или 89,2 %.

Т.о. по данной товарной группе цены в августе по сравнению с июлем в среднем снизились на 10,8 %.

Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретенные в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились. Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак "-") или перерасхода ("+") покупателей от изменения цен: Е тыс. руб.

Индекс физического объема реализации составит:

, или 108,6 %.

Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на 8,6 %.

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:

, или 96,9 %.

Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе товарооборота и цен. При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Рассмотрим применение индексного метода в анализе изменения затрат на производство и себестоимости продукции.

Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение себестоимости отдельного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:

.

Для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода:

.

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель – условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости:

.

Сводный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости, имеет следующий вид:

.

Третьим показателем в данной индексной системе является сводный индекс затрат на производство:

.

Все три индекса взаимосвязаны между собой: .

Еще одна область применения индексного метода – анализ изменений в производительности труда. При этом возможны два подхода к расчету индексов. Первый подход основан на учете количества продукции, вырабатываемого в единицу времени (w). При таких расчетах необходимо решить ряд методологических проблем – какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продукцию работников сферы услуг и пр.

При втором подходе производительность труда определяется затратами рабочего времени на единицу продукции (t). На практике эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного работника в производство того или иного изделия.

Количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции взаимосвязаны между собой: .

Например, если работник на каждое изделие затрачивает 15 мин. (t = о.25 ч), то за час его выработка составит 4 изделия. Отметим, что выработка может измеряться не только в натуральном, но и в стоимостном выражении (pq).

Индивидуальные индексы производительности труда, основанные на этих показателях, имеют следующий вид:

где Т – суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях или человеко-месяцах (в последнем случае соответствует общей численности работников).

Трудоемкость является обратным показателем, поэтому снижение трудоемкости в текущем периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте производительности труда.

Располагая данными о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства, можно рассчитать сводный индекс производительности труда (по трудоемкости): .

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде (Т₁). Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими были бы затраты времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Пример. По данным таблицы измерить рост производительности труда на предприятии Х.

Трудоемкость и выпуск продукции на предприятии Х.

Вид продукции	Затраты времени на 1 изделие, чел.-ч.	Произведено, шт.	Расчетные графы, чел.-ч.
январь(t0)	февраль(t1)	январь(q0)	февраль(q1)	t0q1	t1q1
Изделие А	1,0	0,9			450,0	405,0
Изделие Б	1,2	1,0			388,8	324,0
Изделие В	0,9	0,8			676,8	601,6
Итого	х	х	х	х	1515,6	1330,6

Рассчитать сводный индекс производительности труда по трудоемкости.

Решение.

, или 113,9 %.

Мы получили, что прирост производительности труда в целом по предприятию составил 13,9 %.

Индекс производительности труда по трудоемкости связан с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости:

или

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким – либо ценам, принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего, базисного или какого-либо другого периода или средние цены. Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле:

.

Первая часть этой формулы представляет собой среднюю выработку в отчетном периоде, вторая часть – в базисном.

Пример. Предположим, имеются следующие данные о производстве продукции и отпускных ценах предприятия А:

Вид продукции	Сентябрь	Октябрь	Отпускная цена, руб. (р)	Расчетные графы, руб.
Произвед., шт. (q0)	Трудовые затраты, чел.-ч (Т0)	Произвед., шт. (q1)	Трудовые затраты, чел.-ч (Т1)	q0p	q1p
Изделие А
Изделие Б
Изделие В
Итого	х		х		х

Вычислить индекс производительности труда.

Решение.

= , или102,2%.

Итак, в текущем периоде за 1 чел.-ч вырабатывалось 65,8 руб. продукции, а в базисном 64.4 руб. Прирост производительности труда составил 2.2 %.

Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции, взвешенному по цене:

, или

.

Сводные индексы в средней арифметической

и средней гармонической формах.

В ряде случаев на практике вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы. Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождествен исходному агрегатному индексу.

Предположим, мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде (p₁q₁) и индивидуальными индексами цен , полученными, например, в результате выборочного наблюдения. Тогда в знаменателе сводного индекса цен можно использовать следующую замену: .

Таким образом, сводный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов: