Одной ст. машины, тыс. руб../шт

Рассчитаем количество стиральных машин, произведенных каждым предприятием:

1) 60 / 5 = 12 шт.;

2) 60 / 3 = 20 шт.;

3) 60 / 6 = 10 шт.

Вычислим среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной:

тыс. руб.

Таким образом, в среднем на изготовление одной стиральной машины было израсходовано 4,286 тыс. руб.

В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство стиральных машин, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности. А так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой: тыс. руб.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.

Расчет средней через показатели структуры.

Средние арифметические и средние гармонические могут быть как простыми, так и взвешенными. Веса в формулах средних показывают повторяемость данного значения признака. Поэтому абсолютные данные о повторяемости можно заменить относительными величинами структуры. Так, для расчета среднего коэффициента выполнения плана можно применить формулу

где - доля, удельный вес данного предприятия в общем объеме выпуска продукции по плану.

При использовании формулы средней гармонической вычисление можно выполнить с учетом доли каждого предприятия в общем фактическом объеме произведенной продукции :

Умение производить взвешивание по относительным величинам структуры упрощает расчеты и сбор исходных данных. Кроме того, формулы вычисления средних значений по показателям структуры показывают зависимость среднего уровня не только от индивидуальных значений осредняемого показателя, но и от структуры совокупности. При изменении структуры меняется и средняя величина, хотя индивидуальные значения осредняемого признака могут оставаться прежними. Это обстоятельство используется в индексном методе анализа.

Ниже приведен краткий перечень формул расчета средних значений наиболее употребительных экономических показателей через относительные величины структуры.

1. Средняя трудоемкость изготовления изделия одного и того же вида несколькими рабочими

():

или

где - трудоемкость изготовления единицы продукции конкретным рабочим;

- доля рабочего в общем объеме произведенной продукции;

- доля рабочего в общих затратах рабочего времени.

Например, 4 рабочих изготавливают одинаковую продукцию, но с различными индивидуальными затратами: = 0,5 ч/шт., = 0,6 ч/шт., = 1,2 ч/шт., = 1 ч/шт. Если каждый из них отработал ровно по 6 часов, то и доля их в общих трудозатратах будет одинакова:

= = = = 0,25. Средняя трудоемкость изготовления изделия составит

ч/шт.

Если же затраты времени каждого конкретного рабочего не известны, но имеются данные о вкладе каждого в общий объем продукции: = 0,364; = 0,303; = 0,151; = 0,182, то средняя трудоемкость рассчитывается следующим образом:

= 0,5*0,364 + 0,6*0,303 + 1,2*0,151 + 1*0,182 = 0,727 ч/шт.

Можно отметить, что расчет средней трудоемкости по формуле средней арифметической простой: (0,5 + 0,6 + 1,2 + 1) / 4 = 0,825 ч/шт. – дает заведомо неверный результат. Такое решение справедливо лишь в том случае, если бы каждый рабочий изготовил по одному изделию (или равному числу изделий). Тогда и доля первого рабочего в общих трудозатратах была бы равна

0,5 / 3,3 = 0,152, второго – 0,6 /3,3 = 0,182 и т.д.

Еще проще определяется средняя трудоемкость, когда известны общие трудозатраты и общее количество выработанной продукции. В нашем примере Т = 6 * 4 = 24 ч., а общее количество произведенной продукции составляет 33 шт., а следовательно, = 24: 33 = 0,727 ч/шт.

2. Средний уровень выработки продукции в единицу рабочего времени (). Рассчитывается он по формулам

или ,

где - уровень выработки для отдельного объекта (предприятия, цеха, участка, рабочего);

- доля данного объекта (предприятия, цеха, участка, рабочего) в общих по всей совокупности затратах рабочего времени;

- доля объекта i в общем выпуске продукции.

3. Средний уровень оплаты труда ( ):

или ,

где - уровень оплаты в единицу времени на объекте i;

- доля объекта i в общих трудозатратах;

- доля объекта i в общем суммарном фонде оплаты труда.

4. Средний уровень фондоотдачи ():

или ,

где - уровень фондоотдачи (стоимость произведенной продукции (в руб.) на 1 руб. основных производственных фондов) по объекту (отрасли, предприятию) i;

- доля объекта i в общей стоимости фондов по всей изучаемой совокупности;

- доля объекта i в общем выпуске продукции.

5. Средний уровень затрат на производство единицы продукции одного и того же вида (себестоимость) на нескольких предприятиях ():

или ,

где - затраты на производство единицы продукции по отдельному предприятию;

- доля предприятия в общем объеме произведенной продукции;

- доля предприятия в общих затратах на производство.

Аналогичным образом через относительные величины структуры находятся и другие средние величины экономических показателей (средняя фондоемкость, средний уровень затрат на 1 руб. продукции, средняя оборачиваемость запасов или незавершенного производства и т.д.).

Структурные средние.

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака Х. В этом медианном интервале находят значение медианы с помощью формулы:

,

- нижняя граница медианного интервала;

- его величина;

- половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

- сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

- число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку, от этого зависит показатель повторяемости значений признака Х. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

,

где - нижнее значение модального интервала;

- число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

- то же для интервала, предшествующего модальному;

- то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

Показатели вариации.

Конкретные условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются соответствующими числовыми уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е. несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.

Для измерения вариации в статистике применяют несколько способов.

Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации H как разницы между максимальным (X_max) и минимальным (X_min) наблюдаемыми значениями признака: .

Однако размах вариации показывает лишь крайние значения признака. Повторяемость промежуточных значений здесь не учитывается.

Более строгими характеристиками являются показатели колеблемости относительно среднего уровня признака. Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение Л как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня:

.

При повторяемости отдельных значений Х используют формулу средней арифметической взвешенной:

.

(Следует отметить, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю).

Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов. Но, также следует заметить, что этот показатель усложняет расчеты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.

Дисперсия признака () определяется на основе квадратической степенной средней:

или .

Показатель s, равный , называется средним квадратическим отклонением.

В общей теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и (как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов.

Простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии методом моментов: ;

.

Здесь - среднее значение квадратов признака, или начальный момент второго порядка; - среднее значение признака, или начальный момент первого порядка.

Величина дисперсии признака s² носит еще название центрального момента второго порядка.

Формула метода моментов используется довольно часто. На ней основываются, например, методы статистического имитационного моделирования. Кроме того, если первичные данные сгруппированы, метод моментов позволяет ускорить расчет дисперсии по аналогии с расчетом среднего значения.

Численное значение дисперсии зависит от масштаба измерения признака Х. При увеличении (или уменьшении) всех значений признака в С раз показатель дисперсии нового, увеличенного (или уменьшенного) признака будет больше (или меньше) дисперсии прежнего значения признака в С² раз, т.е. .

Если первичные данные сгруппировать, то дисперсия признака может быть определена как сумма так называемой межгрупповой дисперсии - и среднего значения внутригрупповых - , т.е.

.

Вывести эту формулу несложно, если учесть, что межгрупповая дисперсия рассчитывается как ,

где k – количество групп, на которые разбита вся совокупность;

- количество объектов, наблюдений, включенных в группу j;

- среднее значение признака по группе j;

- общее среднее значение признака.

Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле

,

где .

Подставляя и в формулу сложения дисперсий, выходим на формулу расчета дисперсии методом моментов, что и подтверждает правило сложения дисперсий. Свойство сложения дисперсий используется для измерения степени взаимосвязи признаков.