нормального распределения

Интервалы x	Середина интервала xi			с округлением
от	до
-0,18	-0,16	-0,17		0,062
-0,16	-0,14	-0,15		0,588
-0,14	-0,12	-0,13		3,335
-0,12	-0,1	-0,11		11,346
-0,1	-0,08	-0,09		23,176
-0,08	-0,06	-0,07		28,423
-0,06	-0,04	-0,05		20,928
-0,04	-0,02	-0,03		9,251
-0,02		-0,01		2,455
	0,02	0,01		0,391

2). Оценка близости эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому закону. На рис. 2 приведены полученные теоретическая и эмпирическая кривые распределения. Визуальный анализ результатов совмещения двух кривых распределения случайной величины x (отклонения от номинального размера диаметра роликов) позволяет заключить, что эмпирическое распределение может рассматриваться как распределение по нормальному закону.

3). Вычисление критерия согласия, оценивающего степень согласованности теоретического и статистического распределений. Для проверки гипотезы нормальности распределения генеральной совокупности по взятой из нее выборке можно использовать как критерий l, так и критерий χ². Выполним проверку по обоим критериям.

Проверка гипотезы нормальности распределения по критерию l. Для определения значения критерия λ по формуле (5) вычислим значения эмпирической и теоретической функций нормального закона распределения и их разности для каждого наблюденного значения случайной величины х по формулам

; ,

в которых и - накопленные теоретические и эмпирические частоты; n - объем выборки. При этом считаем, что накопленной частотой любого m значения x_i является сумма частот всех предшествующих значений x_i, включая и частоту самого x_i

,

где m — число значений х_i; f_i - частота i -го значения х.

Используя данные табл. 6 и 7, получим результаты вычисления , и , приведенные в табл. 8. Максимальная разность этих функций составляет . По формуле (5) получим

.

Таблица 8

Данные для вычисления критерия l

xi	fi
-0,17		0,06	0,00	0,06	0,06
-0,15		0,59	0,00	0,65	0,65
-0,13		3,33	3,00	3,99	0,99
-0,11		11,35	19,00	15,33	3,67
-0,09		23,18	41,00	38,51	2,49
-0,07		28,42	66,00	66,93	0,93
-0,05		20,93	85,00	87,86	2,86
-0,03		9,25	98,00	97,11	0,89
-0,01		2,46	100,00	99,57	0,43
Σ		99,57

По табл. 1 этому значению l соответствует . Эта вероятность близка к единице. Поэтому можно нашу нулевую гипотезу считать верной.

Проверка гипотезы нормальности распределения по критерию χ². Используя результаты вычисления теоретических и эмпирических частот и (табл. 6, 7) вычислим критерий χ² по формуле

.

Результаты промежуточных вычислений критерия χ² приведены в табл. 9. Заметим, что поскольку частоты 1 и 7-го интервалов менее 5, то они объединены с соседними интервалами.

По табл. 9 имеем . Число степеней k = т – р - 1 = 5 – 2 - 1 = 2, где m = 5 – число разрядов, р = 2 – число параметров закона распределения. По табл. 4 . Эта вероятность больше уровня значимости q = 0,05, следовательно, и по критерию χ² нашу нулевую гипотезу можно считать верной.

Таблица 9

Результаты вычисления критерия

x
от	до
-0,14	-0,12							1,78
-0,12	-0,10
-0,10	-0,08							0,043
-0,08	-0,06							0,550
-0,06	-0,04							0,410
-0,04	-0,02	13		9				0,750
-0,02	-0,00

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица вероятностей Р для критерия c²

c2	k
	0,3173	0,6055	0,8013	0,9098	0,9626	0,9856	0,9948	0,9982
			00П

c2	k
	0,9994	0,9998	0,9999	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
				0,9994	0,9998	0,9999	1,0000
							0,9996

Продолжение приложения 1

c2	k
c2	k
	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
	0,9998	0,9999	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
			0,9998	0,9999	1,0000	1,0000	1,0000
					0,9997	0,9999	0,9999

[1] Бородачев Н.А. Основные вопросы теории точности производства. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

[2] Романовский В.И. Применение математической статистики в опытном деле. М:, Гостехиздат, 1947.