Случайной величины

Для установления закона распределения генеральной совокупности по большой выборке из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий λ А. Н. Колмогорова и критерий Пирсона.

Критерий λ. Этот критерий дает достаточно точные результаты даже при объеме выборок, состоящих из нескольких десятков членов и прост для вычислений.

Для вычисления величины λ необходимо предварительно определить значения эмпирической F _э(х) и теоретической F (х) интегральной функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюденного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности значений этих функций определяется λ при помощи следующей формулы:

. (4)

Так как и , где и - накопленные теоретические и эмпирические частоты, а n — объем выборки, то вместо формулы (4) можно пользоваться следующей формулой:

. (5)

Накопленной частотой любого m -го значения x_i называется сумма частот всех предшествующих значений x_i, включая и частоту самого x_i, т. е.

(6)

где m — число значений х_i; f_i - частота i -го значения х.

Академик А. Н. Колмогоров доказал, что для непрерывных случайных величин

,

где . Для больших n и любом l > 0 .

Функция K (λ) табулирована Н. В. Смирновым и при помощи таблицы значений K (λ) составлена таблица значений P (λ), которая приведена ниже (табл. 1).

По вычисленному по формуле (4) или (5) значению λ по табл. 1 определяют P (λ). Если вероятность P (λ) окажется очень малой, практически, когда P (λ) ≤ 0,05, то расхождение между F (x) и F _э(х) считается существенным, а не случайным и гипотеза о предполагаемом законе распределения величины x бракуется. Если же вероятность P (λ) будет достаточно большой (практически, когда P (λ) > 0,05), то гипотеза принимается.

Таблица 1

Значения вероятностей Р (λ) для различных λ

l	P (l)	l	P (l)	l	P (l)	l	P (l)
0,30	1,000	0,70	0,7112	1,20	0,1122	1,90	0,0015
0,35	0,9997	0,75	0,6272	1,30	0,0681	2,00	0,0007
0,40	0,9972	0,80	0,5441	1,40	0,0397	2,10	0,0003
0,45	0,9874	0,85	0,4653	1,50	0,0222	2,20	0,0001
0,50	0,9639	0,90	0,3927	1,60	0,0120	2,30	0,0001
0,55	0,9228	0,95	0,3275	1,70	0,0062	2,40	0,0000
0,60	0,8643	1,00	0,2700	1,80	0,0032	2,50	0,0000
0,65	0,7920	1,10	0,1777

Использование критерия λ предполагает непрерывность и, кроме того, предполагается, что эмпирическая функция построена по не сгруппированным в интервалы значениям случайной величины х. Однако в случае, когда интервалы группировки достаточно малы, критерий λ дает, хотя и приближенную, но вполне приемлемую для практических целей оценку близости эмпирического распределения к теоретическому.

Для удобства вычисления критерия λ составляют вспомогательную таблицу, в которой накопленные частоты функции и вычисляются в зависимости от закона распределения х (табл. 2).

Таблица 2