П. 3. Эмпирическая функция распределения

Пусть х ₁, х ₂,…, х_n – выборка из генеральной совокупности с функцией распределения . Статистический ряд – первичная форма записи статистического материала. Он может быть обработан различными способами, например, с помощью статистической или эмпирической (т.е. выборочной) функции распределения . Вероятность Р стремится к частоте.

Определение 8. Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х ₁, х ₂,…, х_n с вероятностями , а соответствующая функция распределения называется эмпирической функцией распределения.

Определение 9. Эмпирической (или статистической) функцией распределения случайной величины Х называется закон изменения частоты события в данном статистическом материале:

определяется по значениям накопленных относительных частот соотношением

(т.е. суммируются частоты тех элементов, для которых выполняется неравенство ).

Свойства .

1. при , где – первый элемент вариационного ряда.

2. при , где – последний элемент вариационного ряда.

3. – неубывающая кусочная постоянная функция на промежутке

Аналогично определяется эмпирическая функция распределения для группированной выборки.

Теорема Гливенко. Пусть – эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема n из генеральной совокупности с функцией распределения . Тогда для любого и любого положительного следует, что

.

Т.е. и сходятся по вероятности, следовательно, при большом n, может служить приближенным значением (оценкой) функции распределения генер. совокупности в каждой точке х.

Пример 6. Построить график эмпирической функции распределения выборки из примера 4 и группированной выборки из примера № 5.