Cent; Понятие случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате которых случайным образом получается некоторое число, например, при бросании игральной кости выпадает число от 1 до 6 и т.п. В таких испытаниях мы сталкиваемся со случайными величинами.

Определение.

Случайной величиной называется числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации некоторого испытания.

Пример1.

• количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика;
• число попадания в мишень при некотором количестве выстрелов;
• рост случайно взятого человека и т.п.

Рисунок 1. Виды случайных величин

Случайную величину можно задать:

• в виде таблицы (в которой указывается значение появления случайной величины и вероятности их появления), т.е. в виде ряда распределения случайной величины (см. Таблица 1);
• графически, где в прямоугольной системе координат по оси Ох откладываются значения случайной величины, а по оси Оу – соответствующие им вероятности. Полученные точки соединяются отрезками. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (см. Рисунок 2).

Определение.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется перечень всех ее возможных значений , , , …, и соответствующих им вероятностей , , , …, , где .

Таблица 1. Пример ряда распределения случайной величины

		...
		…

Рисунок 2. Многоугольник распределения случайной величины

Пример2.

В ящике 4 белых и 8 черных шаров. Вынимаем три шара (без возвращения их в ящик). Случайной величиной Х является число появление белых шаров в выборке. Необходимо составить ряд распределения данной случайной величины и построить многоугольник распределения.

Решение.

Среди выбранных шаров может не оказаться белых шаров, т.е. , один белый шар, т.е. , два белых шара, т.е. , или все три шара будут белыми, т.е. . Найдем вероятности появления соответственных белых шаров.

Введем обозначения.

Событие А – первый шар белый, событие В – второй шар белый, С – третий шар белый, тогда:

;

.

.

.

Таким образом, закон распределения случайной величины Х имеет следующий вид:

х
p

Сделаем проверку: .

Дискретная случайная величина имеет следующие числовые характеристики:

¢ Математическое ожидание M(X)

Определение.

Сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятности этих значений называется математическим ожиданием Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание случайной величины приближенно равно среднему значению случайной величины, около которого группируются все возможные значения случайной величины

Пример3.

Для ряда распределения из примера 2 вычислим математическое ожидание:

.

Свойства математического ожидания: , где . . , если случайные величины , , , …, взаимно независимы.

Пример4.

Дано , . Найдите .