Теореми про подільність суми, різниці, добутку

Теорема про подільність суми. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число n, то й їхня сума теж ділиться на це число.

Доведення: Нехай а n і b n. Тоді за означенням подільності а = n q₁ і b = n q₂, а тому а + b = n q₁ + n q₂ = n (q₁ + q₂). Отже, (а + b) n. Теорему доведено.

Аналогічно доводиться теорема для будь-якого числа доданків.

Теорема про подільність різниці: Якщо а і b діляться на n і а ≥ b, то теж ділиться на n.

Теорема про подільність добутку: Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число.

Доведення: Нехай множник а добутку аb ділиться на число n, тобто а = nq. Тоді аb = (nq) b = n (qb). Отже, аb n. Теорему доведено.

Аналогічно доводиться твердження для більшого числа множників.

Наслідок: Якщо в добутку аb множник а ділиться на m, а множник b ділиться на n, то добуток аb ділиться на mn.

Наприклад, 24∙36 ділиться на 108, бо 108 = 12∙9.