Декартів добуток двох множин. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині

Означення: Декартовим добуткоммножин А і В називається множина, елементами якої є всі упорядковані пари (а, b) такі, що а є А, b є В.

Позначається декартів добуток А×В (але не А∙В або АВ).

Нехай А ={ a ₁, a ₂, a ₃} i B = { b ₁, b ₂}. Знайдемо А×В і В×А.

А×В = {(a ₁, b ₁), (a ₁, b ₂), (a ₂, b ₁), (a ₂, b ₂),(a ₃, b ₁), (a ₃, b ₂)},

B×A = {(b ₁, a ₁), (b ₁, a ₂), (b ₁, a ₃), (b ₂, a ₁), (b ₂, a ₂), (b ₂, a ₃)}.

Із означення видно, що декартів добуток не має переставної властивості: А×В ≠ В×А

Переставна властивість декартового добутку двох різних множин має місце лише тоді, коли одна з них порожня: А×Ø = Ø×А = Ø

Декартів добуток двох рівних множин називають декартовим квадратом: А×А = А², трьох множин – декартовим кубом і т. д.

Якщо множини А і В мають елементами числа, то декартів добуток зручно показувати в декартовій прямокутній системі координат. Відомо, що пара чисел (a, b) на координатній площині визначає точку М, абсциса якої a, а ордината b.

Зобразимо добуток А×В, якщо А = {2, 4, 5}, B = {1, 3}. Це будуть точки з координатами (2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (5, 1), (5, 3).

у

3- • • •

1- • • •

х

0 2 4 5

Нехай А є множина дійсних чисел відрізка [3, 5], a множина В – множина дійсних чисел. Тоді декартів добуток А×В геометрично зобразиться смугою, обмеженою прямими, паралельними осі Оу: х = 3 і х = 5, а добуток В×А – смугою, обмеженою прямими, паралельними осі Ох: у = 3 і у = 5.

у у

у = 5

у = 3

0 х 0 х

3 5

Проілюструвати декартів добуток можна також таблицею. Розглянемо це на конкретному прикладі.

А = {К, З, Л} – множина міст: Київ, Запоріжжя, Львів. З кожного міста щодня відправляється по одному поїзду в Москву та Харків. Щоб дізнатися, скільки поїздів відправляється щодня у Москву та Харків зручно скласти таблицю. Позначимо множину міст Москва та Харків через В = {М, Х}

В А	М	Х
К	КМ	КХ
З	ЗМ	ЗХ
Л	ЛМ	ЛХ

Поняття декартового добутку можна поширити і на випадок трьох, чотирьох і взагалі n множин.

Означення: Декартовим добутком множин А_1, А₂ ,..., А_n називається множина А₁× А₂×...×А _n, елементами якої є всі упорядковані n-ки такі, що перша компонента кожної з них належить А₁, друга – А₂, третя – А₃ і т.д.

На розглянутих раніше прикладах неважко було помітити, що кількість елементів декартового добутку множин, взятих у довільному порядку, дорівнює добутку чисел, що виражають кількість елементів даних множин.

Властивості декартового добутку:

1. (АUВ) × С = (А × С) U (В × С);

2. А × (BUC) = (A × B) U (A × C);

3. (A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);

5. (A \ B) × C = (A × C) \ (B × C);

6. A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).