Применение метода наименьших квадратов для обработки результатов наблюдений

Метод наименьших квадратов – относится к числу очень распространенных методов обработки наблюдений. Он применяется при решении многих практических задач в биологии, физике, психологии, социологии, лингвистике.

Пусть в процессе эксперимента получена зависимость между значениями двух зависимых случайных величин . Как правило, такая зависимость дается в виде таблицы:

x				…		…
y				…		…

Предполагается, что между значениями и этих величин существует функциональная зависимость определенного вида. Требуется найти функцию заданного вида, которая наилучшим образом была бы согласована с опытными данными. Считается, что наилучшей будет та функция , для которой сумма квадратов отклонений значений , вычисленных по формуле от соответствующих опытных значений в точках принимает минимальное значение.

Иначе говоря, надо найти функцию , для которой обращается в минимум сумма

Чаще всего в качестве функции выбирают линейную или квадратичную.

1. Пусть функцией, «сглаживающей» экспериментальную зависимость между переменными и ,является линейная функция

Тогда , а параметры и определяются из системы уравнений

. (1)

Для определения коэффициентов системы удобно составить вспомогательную таблицу для вычисления коэффициентов

2. Если в качестве функции, отражающей экспериментальную зависимость между переменными и , выбрать квадратичную функцию то система уравнений для определения коэффициентов будет иметь вид:

(2)

Рассмотрим конкретные задачи на применение метода наименьших квадратов.

Задачи

30(1. 45). Предполагается, что стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне описывается линейной функцией . Определить константы , имея таблицу измеренных температур в соответствующих точках стержня:

x
y		29,2	23,3	19,9	17,2	11,3	7,8

Решение. Составим таблицу для определения коэффициентов системы (1):

k
		0
			29,2	58,4
			23,3	139,8
			19,9	159,2
			17,2
			11,3	158,2
			7,8	124,8
			2,0
			142,7	852,4

Система (1) имеет вид:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим следующие значения параметров Таким образом, искомая линейная функция имеет вид

31.(2.46.) В электрической цепи в течение 10 секунд измеряется напряжение с интервалом в 1 секунду. Результаты приведены в таблице

Известно, что зависимость между параметрами U и t линейная, т.е.

Найдите такие значения параметров и при которых функция достаточно точно отражает результаты эксперимента.

32. ( 3.47.) В таблице приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначена и измеряется в децибелах (д б)) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается через и измеряется в км):

		2,5		5,5		8,5

Используя метод наименьших квадратов, подберите линейную функцию, которая описывает зависимость U от S. Найдите: а) на каком расстоянии от точки взлета звук становится смертельно опасным для человека (свыше 120 децибел);

б) на каком расстоянии от аэродрома можно строить жилые помещения (менее 75 децибел), детские учреждения и больницы (менее 50).

33. (4. 48.) Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля (тыс. км) и – расходе масла (л/тыс. км)

	0,2	0,5	0,8	1,1	1,3

Полагая, что между переменными и существует линейная зависимость , найти методом наименьших квадратов эмпирическую формулу этой зависимости.

34. 5(. 49.) Имеются следующие данные о расходах на рекламу ( тыс. усл. ед.) и сбыте продукции (тыс.ед.):

	1,6	4,0	7,4	12,0	18,0

Предполагая, что между переменными и существует квадратичная зависимость , найти методом наименьших квадратов эмпирическую формулу этой зависимости.

35. (6.50.) Имеются следующие данные о переменных и , где – цена на товар (усл. ед.), а – уровень продаж (тыс. ед.):

	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0

Предполагая, что между переменными и существует линейная зависимость , найти методом наименьших квадратов эмпирическую формулу этой зависимости.

36. (7. 51.) Задача 6 при условии, что – мощность двигателя (л. с.) а – средний срок его эксплуатации: