Интервальные оценки. Доверительный интервал

Точечная оценка параметров генеральной совокупности является лишь приближенным значением неизвестного параметра и для выборки малого объема

может существенно отличаться от него. Чтобы иметь представление о точности и надежности оценки параметра используют интервальную оценку параметра.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал , который с заданной вероятностью (надежностью) покрывает заданный параметр. Вероятность называется доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала зависит от объема выборки (уменьшается с ростом ) и от значения доверительной вероятности (увеличивается с приближением к единице).

Часто интервал выбирают симметричным относительно параметра , т.е. выбирают интервал .

О тклонение оценки от оцениваемого параметра называется точностью оценки: .

Любую точность можно получить с определенной вероятностью (надежностью):

.

Это условие означает, что интервал покрывает значение параметра с заданной доверительной вероятностью . Точность оценки фактически определяет длину доверительного интервала (2 ).

Построение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам основано на следующей теореме

Теорема. Вероятность того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число >0 (по абсолютной величине), равна:

, где ; , где , – функция Лапласа. Для вычисления значений этой функции для положительных значений составлена таблица (приложение 2); для значений полагают . Для отрицательных значений используют ту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная: .

Доверительный интервал для среднего значения

нормального распределения при известном .

Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней является доверительный интервал

,

где – точность оценки, – объем выборки, – значение аргумента функции Лапласа , при котором .