Понятие оценки параметров. Точечная оценка

Математическая теория выборочного метода основана на анализе случайной выборки. Введем некоторые обозначения:

– значения признака (случайной величины );

и – объемы генеральной и выборочной совокупностей;

и – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака ;

и – число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

Средние арифметические распределения признака в генеральной и выборочной совокупностях называются соответственно генеральной и выборочной средними, а дисперсии этих распределений – генеральной и выборочной дисперсиями.

Отношения и называются соответственно генеральной и выборочной долями.

Все формулы сведем в таблицу

Наименование характеристики	Генеральная совокупность	Выборка
Средняя
Дисперсия
Доля

Генеральные совокупности характеризуются некоторыми постоянными числовыми характеристиками – параметрами. Например, это параметр в распределении Пуассона или параметры или для нормального распределения и т. д. Задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Обозначим неизвестный параметр распределения, то есть числовую характеристику генеральной совокупности , через .

Для вычисления параметра использовать генеральную совокупность не представляется возможным. Поэтому о параметре судят по выборке, состоящей из вариант . Эти варианты можно рассматривать как частные значения независимых случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что сама случайная величина .

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют всякую функцию от результатов наблюдений над случайными величинами .

Поскольку –случайные величины, то и оценка (в отличие от параметра – величины неслучайной) является случайной величиной. Зависящей от закона распределения случайной величины и числа .

Всегда существует множество функций от результатов наблюдений , которые можно предложить в качестве оценки параметра . Например, если параметр является математическим ожиданием случайной величины , т.е. генеральной средней, то в качестве его оценки по выборке можно взять: среднюю арифметическую результатов наблюдений – выборочную среднюю, или моду, или медиану и т. д.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где – некоторая выборка из генеральной совокупности.

Точечная оценка параметра называется н есмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: .

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру: .

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:

,

где – варианта выборки, – частота варианты , – объем выборки.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

.

Эта оценка является смещенной, так как можно доказать, что

.

Для вычисления выборочной дисперсии более удобна следующая формула:

.

Если варианты – большие числа, то для упрощения вычислений целесообразно перейти к условным вариантам . В качестве выгодно взять число, близкое к выборочной средней, но так как выборочная средняя неизвестна, то число выбирают наугад., стараясь получить маленькие значения для вариант . Тогда

.

Так как при замене дисперсия не изменится, то

.

Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с десятичными знаками после запятой, то переходят к условным вариантам , где . При этом дисперсия увеличивается в раз. Поэтому

.

Нес мещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

.

Более удобна формула

.

В условных вариантах она имеет вид

,

причем, если , то , а если , .

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

варианта 2 5 7 10

частота 16 12 8 14

Найдти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней служит выборочная средняя:

.

Поэтому =16.

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

варианта 1 3 6 26

частота 8 40 10 2

Найдите несмещенную оценку генеральной средней. (4)

10. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема : варианта 1250 1270 1280

частота 2 5 3

Решение. Первоначальные варианты – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам. Пусть , тогда . В результате получим:

варианта 20 0 10

частота 2 5 3

Найдем искомую выборочную среднюю:

11. Найдите выборочную среднюю по данному распределению выборки объема :

варианта 1560 2600 2620 2650 2700

частота 2 3 10 4 1 (2621)

12. По выборке объема найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение. Несмещенной оценка равна исправленной дисперсии:

.

13. По выборке объема найдена смещенная оценка генеральной дисперсии. Найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. (5,1)

14. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Найти а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

Решение. а) Выборочная средняя

б) Выборочная дисперсия

.

Исправленная дисперсия

.

15. В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты (в мм): 8, 9, 11, 12. Найдите а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

16. Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов.

Рост	154–158	158-162	162-166	166-170	170-174	174-178	178-182
Число студентов

Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов.

Указание. Найдите середины интервалов и примите их в качестве вариант.

17. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема : 0,01 0,04 0,08

5 3 2

Решение. Чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам . Получим распределение

1 4 8

5 3 2

Найдем выборочную дисперсию условных вариант: