Дюрация

Риск изменения цены облигации, в первую очередь, связан с риском изменения процентных ставок. Поэтому необходимо определить показатель, который являлся бы мерой такого риска. Чтобы определить приблизительное изменение облигации при небольшом изменении доходности до погашения, возьмем первую производную по r для формулы определения цены облигации:

(2.27)

или

(2.28)

или

(2.29)

где: Р – цена облигации, dP – изменение цены облигации, dr – изменение доходности до погашения, r – доходность до погашения, С – купон облигации, N – номинал облигации, п – число лет до погашения облигации.

Сумма в квадратных скобках в правой части уравнения (2.29) представляет собой средневзвешенное время до погашения купонов и номинала облигации, где весами выступают приведенные стоимости платежей.

Например, если облигация погашается через три года, то выражение в квадратных скобках уравнения (2.29) примет вид:

где: 1, 2 и 3 – годы, когда выплачивается купоны и номинал по облигации. Первый год входит в уравнение с удельным весом (приведенная стоимость первого купона), 2-ой – с удельным весом и 3-й – .

С помощью уравнения (2.29) можно приблизительно определить изменение цены облигации при малом изменении доходности до погашения.

Разделим обе части уравнения (2.29) на Р

(2.30)

Уравнение (2.30) говорит о приблизительном процентном изменении цены облигации.

Величину в правой части уравнения (2.30) называют дюрацией (duration – протяженностью) Макоули. Обозначим ее через D. Дюрация представляет собой эластичность цены облигации по процентной ставке и поэтому служит мерой риска изменения цены облигации при изменении процентной ставки.

Наглядно можно показать следующим образом. Продифференцируем уравнение (2.2) по (1 + r).

(2.31)

Умножив обе части уравнения (2.31) на , получаем:

или

или

(2.32)

Левая часть уравнения (2.32) – это эластичность цены облигации относительно доходности до погашения (или более точно, относительно (1+ r)).

Как видно из уравнения (2.32), чем меньше величина дюрации, тем в меньшей степени цена облигации будет реагировать на изменение процентной ставки и наоборот. Перед дюрацией стоит знак минус. Это говорит о том, что доходность до погашения и цена облигации изменяются в противоположном направлении.

Пример 2.15. Номинал облигации 1 млн. руб., купон 10% и выплачивается один раз в год, до погашения остается 3 года, доходность до погашения 10%. Цена облигации равна 1 млн. руб. Определить дюрацию облигации.

Она равна:

года.

Допустим, что доходность до погашения выросла на 1%, тогда цена облигации снизилась до

руб.

Найдем процентное изменение цены облигации в результате изменения доходности до погашения:

или – 2,44%.

Как видно из примера, дюрация облигации равна 2,74 года, и при небольшом изменении процентной ставки процентное изменение цены облигации составило 2, 44%. Таким образом, дюрация облигации приблизительно говорит о том, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении ее доходности на небольшой процент. Показатель дюрации можно использовать не только в отношении облигаций, но и других активов, которые предполагают известные суммы выплат. Дюрация облигации с нулевым купоном равна периоду времени, который остается до ее погашения.

Дюрация определяется в купонных периодах. Если купоны выплачиваются 1 раз в год, то величина дюрации равна количеству лет. Если купоны выплачиваются т раз в год, то дюрацию в годах можно определить по следующей формуле:

(2.33)

где: m – число периодов, за которые выплачиваются купоны в течение года.