Перетворення в проективних координатах

Рівняння кривої в проективних координатах має вигляд

. (1.102)

Можна показати, що операції додавання і подвоєння для кривої можуть бути обчислені у такому вигляді [14]:

, , .

, , , (1.103)

, , ,

, , ,

.

При обчисленні подвоєної точки в проективних координатах

, , ,

, , (1.104)

.

Основною особливістю використання проективних координат є те, що в цьому базисі не виконується операція ділення за модулем, яка зводиться до знаходження зворотного елемента. Так в афінному базисі необхідно для різних кривих та операцій знаходити значення:

та ,

або

та .

При цьому операція ділення заміняється знаходженням зворотного елемента, що є суттєво складною.

Особливістю криптографічних перетворень в групі точок ЕК є те, що відкритий ключ обчислюється згідно з (1.81). Якщо особистий ключ в d сформовано випадково, а Q є відкритий ключ, то задача криптоаналізу формулюється як знаходження особистого ключа d при відомих Q, G, а також . Тобто задача криптоаналізу зводиться до розв’язку рівняння (1.81) відносно особистого ключа d. Складність розв’язку цього рівняння визначається (1.74), вона набагато більша ніж для криптографічних перетворень в кільцях та полях, що визначається виразом (1.75).