Подвоєнням точки Р1 є

. (1.84)

Метрика операцій в групі точок ЕК наступна. Сума двох точок для кривої (1.76) є точка (х ₃, у ₃) з координатами:

При подвоєнні вважається, що х ₁= х ₂, тому можна використовувати (1.85) та (1.86) для знаходження х ₃ та у ₃, а

. (1.88)

Приклади.

Нехай буде ЕК , причому а = 1, b = 1, Р = 23.

1. Перевірити, що точки P ₁=(3, 10), P ₂=(9, 7) належать кривій та знайти .

Підставивши значення та в рівняння еліптичної кривої бачимо, що вони належать кривій (ліва та права частини порівнюються).

Знаходимо

.

.

Таким чином Р₁+Р₂=(3,10)+(9,7)=(17,20).

1.4.2 Афінний та проективні базиси криптоперетворень в групі точок еліптичних кривих

Відомо два подання груп точок ЕК (два базиси) – афінний і проективний.