Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Определение.Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий

Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если производится по мишени 2 выстрела и событие – попадание при первом выстреле в мишень, – попадание при втором выстреле, то – событие, заключающееся хотя бы в одном попадании при 2-х выстрелах.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство. Пусть

– общее число возможных элементарных исходов испытания,

– число элементарных исходов, благоприятных событию ,

– число элементарных исходов, благоприятных событию .

Тогда число благоприятных элементарных исходов для события будет равно .

.

Следствие 1. Вероятность суммы произвольного числа попарно несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий , , …, , образующих полную группу, равна 1.

Доказательство.

, т.к.

– достоверное событие.

Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Пример 1.

Стреляют 1 раз в мишень.

“Попадание” и “Промах” противоположные события.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство. Противоположные события образуют полную группу. По следствию 2 сумма их вероятностей равна 1.

Пример 2.

В урне 10 белых, 5 красных и 7 черных шаров. Наугад вынимается 1 шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый или черный.

Решение.

I способ.

– “вынули белый шар”

– “вынули красный шар” попарно несовместные события

– “вынули черный шар”

Нас интересует .

, , .

II способ.

, , образуют полную группу.

.

.