Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 6. ( Ролль) Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

а) непрерывная на отрезке ;

б) дифференцируемая в интервале

в) ,

тогда существует точка , такая, что =0.

□ Если непрерывна на , то по теореме Вейерштрасса существуют точные верхняя и нижняя грани M и m: . Если : .

Если и какое-то из них не равно 0, то хотя бы одна из них достигается во внутренней точке, т.к. .

Пусть в точке достигается наибольшее значение, т.е. . Тогда . Поэтому

при ,

при .

Поскольку функция дифференцируемая, то , который не зависит от . Тогда переходя к пределу, по теореме сравнения получаем:

Это возможно, только если . ■

Геометрическая интерпретация теоремы: если на отрезке значения в крайних точках равны, то на кривой существует точка, в которой касательная параллельна оси .

O

x

y

ς

Рис.2

Замечание 1. Если, то теорему можно сформулировать так: между всякими двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль производной. Именно так, причем лишь для многочленов она была сформулирована Роллем.

Замечание 2. если не выполняется одно из требований теоремы Ролля, то утверждение теоремы может оказаться неверным.

Пример 4. , (рис.3). Имеется разрыв в точке x=0.

O

y

x

-2

Рис.3

Пример 5. , (рис.4).

Функция непрерывна, но не дифференцируема на отрезке , т.к и в точке производной не существует. Из графика видно что нет касательной параллельной оси . Т.е. имеется излом границ, а, следовательно, касательную можно провести неоднозначно.

y

O

x

Рис.4.

Теорема 7. (Лагранж) Если функция удовлетворяет условиям: а) непрерывна на отрезке ; б) дифференцируема внутри него, то найдется хотя бы одна точка , такая, что будет справедлива формула Лагранжа:

(11)

□ Рассмотрим на отрезке вспомогательную функцию (разность ординат кривой и секущей, проходящей через точки f(a) и f(b)):

.

Для нее выполняются все условия теоремы Ролля: -непрерывна, дифференцируема: и . Тогда по теореме Ролля существует точка , где

. ■

Геометрическая интерпретация: из(11)

y

a ξ b

y=f(x)

x

Рис.5

Рис.

B

A

Поскольку угловой коэффициент секущей AB, стягивающей значения функции и , то угловой коэффициент касательной в точке , и формула Лагранжа означает что внутри отрезка найдется хотя бы одна такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей значения и .

Замечание. Формулу Лагранжа иногда удобно записывать по - другому.

Пусть , тогда из (11) . Если или

(12)

Формула(12) есть формула определения приращения функции через приращение аргумента. Поэтому формула (12) называется формулой конечных приращений.

Следствие 1. Пусть функция дифференцируема на промежутке и

□ Пусть фиксированная точка , а - произвольная точка. Тогда из (12) следует .

Следствие 2. Пусть функция дифференцируема на промежутке , тогда каждая точка является либо точкой непрерывности, либо точкой разрыва 2-го рода. Иначе, производная не может иметь точек устранимого разрыва и точек разрыва первого рода.

□ Пусть существует . Проверим условие непрерывности производной в точке. По формуле (12): , т.е. непрерывна справа в точке . Аналогично, доказывается непрерывность слева :

.

Следовательно, если существует предел слева и справа равный , то производная - непрерывна в точке . Если хотя бы один из пределов не существует, то - точка разрыва второго рода. ■

Теорема 8. (Коши) Если функции и обладают следующими свойствами: а) непрерывны на отрезке ; б) дифференцируемы во всех его внутренних точках; в) , то внутри существует такая точка , что справедлива формула Коши:

. (13)

□ Ясно, что . Действительно, пусть , тогда для неё выполняются все условия теоремы Ролля, следовательно , что . Однако это по условию невозможно. Следовательно . Тогда рассмотрим вспомогательную функцию:

.

Для неё выполняются все условия теоремы Ролля (проверить). Тогда для , что :

.

Откуда следует формула (13). ■

Заметим, что формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши при