Производные и дифференциалы высших порядков. Определение 4. Пусть функция имеет на промежутке производную

Определение 4. Пусть функция имеет на промежутке производную . Если в точке функция дифференцируема, то ей производную называют второй производной (производной второго порядка) функции в этой точке и обозначают или .

Аналогично определяется производная любого n –го порядка. Пусть имеет на промежутке производные . Тогда если в точке существуют производные от функции , то она называется производной n–го порядка в точке . Итак, если имеет производную n –го порядка, то

Функция, имеющая на некотором промежутке производные до n –го порядка включительно, называется n–раз дифференцируемой на промежутке. Если функция имеет производные любого порядка на промежутке , то она называется бесконечно дифференцируемой на этом промежутке.

Пример 7. 1) 2) .

Непосредственно из определения следуют свойства производных высших порядков. Если и n -раз дифференцируемы в точке ,то

Для производной произведения функций и справедлива формула Лейбница:

(10)

Где - биномиальные коэффициенты.

.

□ При n=1 формула (10) очевидно верна.

, .

При .

По индукции. Пусть формула верна для производной порядка . Докажем, что она будет верна и для -го порядка.

.

Т.к. , . ■

Пример 8. Для функции найти производную 100-го порядка.

.

Можно дать механический смысл второй производной. Пусть точка движется прямолинейно вдоль оси и ее координата в момент времени . Т.к. - скорость в момент времени , то отношение есть среднее ускорение на промежутке , а предел

есть мгновенное ускорение точки в момент времени . Следовательно, вторая производная есть ускорение точки.

Покажем, как искать вторую производную от функции заданной параметрически. Пусть функция задана параметрически уравнениями

; и ,

где и - дифференцируемые функции. Предполагается, что имеет обратную функцию . По теореме о дифференцировании сложной функции и дифференцировании обратной функции, имеем:

.

Вторая производная: .

Пример 9. Вычислить функции заданной параметрически: .

Определение 5. Дифференциалом –го порядка функции называется дифференциал первого порядка от дифференциала -го порядка, причем считается, что дифференциал независимой переменной является постоянной величиной, не зависящей от .

Согласно определению имеем:

;

;

……………………………………….

, .

Ясно, что производную –го порядка можно записать

.

Дифференциалы порядка 2 уже не обладают свойством инвариантности. Уже при =2 для имеем по определению 5: - если - независимая переменная.

Если u=f(x), т.е.зависимая переменная, и , то