Работа, затрачиваемая на вращение колеса ступени

Полагая поверхности тока при течении воздуха через ступень цилиндрическими, рассмотрим элемент ступени, заключенный между двумя такими поверхностями, расположенными на малом расстоянии друг от друга. Такой элемент часто называют элементарной ступенью. При известных параметрах потока перед и за РК аэродинамиче­ские силы, действующие на лопатки рабочего колеса в этом эле­менте, и работа, затрачиваемая на его вращение, в установившемся движении могут быть опреде-лены с помощью теоремы Эйлера.

Рассмотрим решетку профилей (рис. 3.4), представляющую собой развертку сечения лопаток РК в элементарной ступени цилиндрической поверхностью. Линию тп, соединяющую передние кромки всех про­филей, назовем фронтом решетки, а расстояние t между одина­ково расположенными точками соседних профилей — шагом решетки.

Выделим в потоке, обтекающем любой из профилей решетки, объем, ограниченный контрольной поверхностью, образованной двумя поверхностями тока 1-2 и 1 ¢ -2', отстоящих друг от друга точно на величину шага t, и двумя плоскостями 1-1 ' и 2-2', парал­лельными фронту решетки и расположенными на таком расстоянии от нее, чтобы можно было пренебречь неравномерностью потока. В направлении, нормальном к плоскости рисунка, выделенный объем ог­раничим двумя близкими плоскостями, параллельными плоскости рисунка, расстояние между ко­торыми примем равнымΔ r. Обозначим далее в соответствии с рис. 3.2 через Р_u и Р_a составляющие аэродинамической силы Р, действующей на одну лопатку PK в рассматриваемом элементе ступени. Сила Р', с которой лопатка воздействует на поток возду­ха, очевидно, равна и.противоположна силе Р.

Согласно теореме Эйлера о количестве движения, математическое выражение которой было представлено формулой (1.30), сумма всех сил, действующих на вы­деленный объем воздуха, должна быть равна разности коли­честв движения потоков, вытекающих и втекающих в этот объем в единицу времени. При этом силы, действующие на поверхностях 1-2 и 1'-2', вследствие периодичности потока в точности компен­сируют друг друга, а расход воздуха через эти поверхности равен нулю. Таким образом, кроме силы Р' будут подлежать учету толь­ко количества движения и силы давления воздуха в сечениях 1-1' и 2-2'. Тогда, рассматривая проекции всех сил на горизонтальное (окружное) и вертикальное (осевое) направления, получим для окружной и осевой составляющих силы Р выражения:

. (3.1)

где - масса воздуха, проходящего через контроль­ную поверхность в единицу времени.

Определим далее работу , затра­чиваемую на вращение данного элемента колеса ступени, в расчете на 1 кг проходящего через него воздуха. Если окружная скорость лопаток колеса есть u, то секундная работа перемещения лопатки равна P_u u. Отнеся ее к расходу воздуха через рассматриваемую контрольную поверхность Δ G, получим

, (3.2)

где .

Таким образом, работа, затрачиваемая на вращение рабочего колеса элементарной ступени осе­вого компрессора, при цилиндрической поверхности тока равна произведению окружной скорости u и закрутки воздуха в колесе .

Если же поверхности тока в данной элементарной ступени заметно отличаются от цилиндрических, то, применяя теорему Эйлера о моменте количества движения, можно показать аналогичным путем, что в таком случае

. (3.3)

Формулы (3.2) и (3.3) носят название формул Эйлера. В этих формулах L_u - работа вращения колеса в элементарной ступени. Работа вращения колеса ступени в целом может быть найдена путем интегрирования её значений для каждой элементарной ступени (с учетом расхода воздуха через неё) с последующим отнесением результата интегрирования ко всему массовому расходу воздуха через ступень G _в:

. (3.4)