Teopeмa сложения скоростей

Пусть некоторая точка М со­вершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая са­ма движется произвольным образом по отношению к неподвижной систе­ме отсчета , (рис.29). Поло­жение подвижной системы отсчета может быть определено, если задать положение точки О радиусом-вектором r₀, проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов подвижных осей О_X, O_Y, O_Z.

Рис.29

Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью v₀ точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью . Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора ₀ и направления единичных векторов изменяются. Если векторы ₀, заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.

Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором

,

где координаты x,y,z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор _М задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета , может быть определено радиусом-вектором r_M. Из рис.30 видно, что

. (1)

Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным.

Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора r_M точки м по времени t

.

Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим

. (2)

Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку.

К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат x,y и z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов ₀, , т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета

(3)

. (4)

Каждая из групп слагаемых, обозначенных через v_r и v_e, представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростей _r и _e.

Скорость , как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы ₀, остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак скорость представляет собой относительную скорость точки М.

Скорость вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость представляет собой переносную скорость точки М.

Итак, . (5)

Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.