Дәріс 9. Тақырыбы: Стационар магнит өрісі

Қарастырылатын сұрақтар:

Ток элементтерінің өзара әсерлесу заңы (Лаплас-Био-Савар-Ампер заңы). Ток элементтерінің өзара әсерлесу заңының өрістік интерпретациясы. Ампер тәжірибесі. Магнит индукциясының векторы. Био-Савар-Лаплас заңы. Магнит өрісінің салыстырмалық табиғаты. Ампер заңы. Стационар жағдайдағы магнит индукциясы векторының циркуляциясы туралы теорема, толық тоқ заңы. Магнит өрісінің кұйындылығы.

Магнетиктердегі магнит өрісі. Магнетиктер және олардың түрлері. Тұйықталған элементар токтың магнит өрісі. Магниттелу механизмдері, молекулалық, көлемдік және беттік тоқтар. Магнетиктердегі өріс. Магнит өрісінің кернеулігі. Тұрақты магниттер. Магнит өрісінің векторлары үшін шекаралық шарттар. Магниттік өтімділікті және магнетик ішіндегі өріскернеулігі мен индукциясын өлшеу. Магниттік экрандау. Магнит өрісіндегі күштер. Лоренц күші. Зарядталған бөлшектердің электромагниттік өрісінде қозғалуы. Ампер заңы. Тоқ пен магниттік моментке әсер ететін күштер және күш моменттері.

Дәріс мазмұны:

9 .1. Токтардың өзара әсерлесуі. Тәжірибелер екі тогы бар өткізгіштердің (кейде екі токтар деп те айтылады) болмаса козғалыстардағы зарядтардың бip-бipiмeн әсерлесетінін көрсетеді. Бұл әсердің бip токтан екінші тоққа калай берілетіндігін, яғни козғалыстағы зарядтардың өзара әсерлесуінің механизмін, Ампер, Эрстед тәжірибелерін талдау арқылы түсінуге болады. Мысалы, екі ток жүретін металл ленталар (сымдар) 9.1.1 – сурет

олардағы токтардың бағытына қарай бipiн-бipi тебеді, болмаса тартады (9.1.1-сурет). Эрстед тәжірибесі бойынша тогы бар өткізгіш өзінің маңындағы магнитке (компаска) әсер етеді. Ал жердің магнит өpici болатынын адамзат токтардың өзара әсер ететіндігінен әлдекайда ерте білген. Олай болса, Эрстед тәжірибесінен тогы бар өткізгіш маңында магнит өpici туады деген тұжырым жасауға болады. Әpбip темip ұнтактарын кішкентай компастар деп есептесек, барлық компастар әpбip шеңбер бойымен белгілі бip бағытпен орналасады (6.1.2-сурет ток кітап бетіне қарай бағытталған).

9.1.2 – сурет

Егер таға тәрізді магнит алып, оның арасына тогы бар өткізгіштің түзу бөлігін орналастырып, ол арқылы ток жіберсе, токтың бағытына байланысты өткізгіш магниттен тебіледі, болмаса оның ішіне карай тартылады (9.1.3-сурет).

9.1.3 – сурет

Ток дегеніміз зарядталған бөлшектердің реттелген (бағытталған) козғалысы, олай болса тогы бар өткізгіштердің өзара әсерлесуі онда зарядталған бөлшектердің бағытталған қозғалысы (ток) барлығына байланысты. Бұған ток жок кезде өткізгіштерде зарядталған бөлшектер болса да, олардың өзара әсерлеспейтіндігі дәлел. Екінші жағынан козғалыстағы зарядталған бөлшектерге магнит өpici әсер ететіндігіне және олардың өзінің маңында магнит өpiciн тудыратынына көз жеткізу қиын емес. Ол үшін осциллограф экранында пайда болатын нүктелік дақ электрондар ағынының экранмен соктығысқан кезде пайда болатынын ecкеріп, дақтың маңына жазық магнит жакындатсақ, дақтың ығысатындығын байқау аркылы көз жеткізуге болады. Дақтың ауытқу бағыты магнит полюстерінің калай (даққа қарағанда) орналасатынына байланысты (9.1.4-сурет).

9.1.4 – сурет

Сонымен қарастырылған тәжірибелерді зерттей отырып, тогы бар өткізгіштер (қозғалыстағы зарядтар) бір – бірімен магнит өрісі арқылы әсерлеседі деген тұжырым жасауға болады. Бірақ магнит өрісін сан жағынан сипаттайтын физикалық шаманы аныктау оңай емес, себебі токтардың өзара әсерлесу күйі магнит өpici бағытымен ғана емес, ток пен магнит өpici бағыттарына байланысты, екінші жағынан электр өpiciн қарастырғандағыдай магнит өpici кернеулігін элементар тоққа әсер ететін күш моментінің шыншы ток магниттк моментіне катынасы аркылы анықтаудың аналитикалық әдісі осы күнге дейін табылған жок.

9 .1.1. Магниттік өзара әсерлесудің салыстырмалылық (релятивтік) табиғаты. Сонымен қозғалыстағы зарядталған бөлшектер бip-бipiмeн тек электр өpici ғана емес, магнит өpici аркылы да әсерлеседі екен. Электрлік әсерлесу Кулон заңына бағынады. Ал магниттік әсерлесудің салыстырмалық табиғатын, яғни электрлік әсерге қарағанда есе кем екендігін көрсетелік. Ол үшін салыстырмалылық теориясы тұрғысынан шексіз зарядталған зарядпен әсерлесуін караймыз (9.1.1.1-сурет).

9.1.1.1-сурет

Нүктелік заряд пен зарядталған шексіз жіп К' координаталар системасында козғалмайды (тыныштықта болады). Нүктелік заряд Y’ осінің бойында жіптен У'о кашықтықта орналасқан, ал жіптің көлденең қимасының ауданы s', ондағы зарядтың көлемдік тығыздығы р' болсын, зарядталған шексіз жіп тарапынан нүктелік зарядқа әсер ететін күшті табалық. Ол үшін алдымен бас нүктеден x’ кашыктыкта орналаскан жіптің dx' элементінің q нүктелік зарядпен әсерлесуін карастырамыз. Қарастырып отырған элементтің заряды . Егер q және р' оң зарядтар болса, Кулон заңы бойынша

, (9.1.1.1)

Бұл формулаға кіретін , екенін ескеріп

, (9.1.1.2)

Соңғы интегралдардың біріншісі нөлге тең. Екінші интегралды алғаннан кейін

, (9.1.1.3)

Енді нүктелік заряд пен жіптің өзара әсерін К' системасына қарағанда X' осіне қарама-карсы бағытты жылдамдық қозғалатын К системасында карастырамыз. Бұл системада q және жіп X осінің бағытымен жылдамдық козғалады. Нүктелік заряд q және көлденең бағытта масштаб өзгермейтіндіктен, у'о s'о координаталар системасына тәуелді емес. Козғалыс бағытында масштаб есе кыскаратындықтан, К системасындағы жіп зарядының көлемдік тығыздығы

(9.1.1.4)

К-системасындағы нүктелік зарядка зарядталған шексіз жіп тарапынан әсер ететін күш

, , (9.1.1.5)

Соңғы формулаға (9.1.1.4) өрнекті койсақ және екенін ескерсек,

(9.1.1.6)

К-системасындағы нүктелік зарядка әсер ететін толык күш

(9.1.1.7)

Лоренц түрлендірулерінен

және болатынын ескерсек,

(9.1.1.8)

Соңғы өрнекке (9.1.1.6) формуладан -тің өрнегін қойсақ,

(9.1.1.9)

Козғалыстағы нүктелік зарядқа козғалыстағы зарядталған шексіз жіп тарапынан әсер ететін толык күшпен , олардың арасындағы электрлік әсерді сипаттайтын күштің айырымы

(9.1.1.10)

Соңғы формула козғалыстағы зарядтардың арасында электрлік өзара әсерімен катар одан табиғаты баска әсердің болатынын көрсетеді. Бұл әсерді магниттік әсер деп атайды. (9.1.1.10) өрнектен магниттік әсердің электрлік (кулондық) әсерге катынасы екінші ретті аз шамамен анықталатынын көреміз (), ондағы тepic таңба бip бағытта қозғалатын зарядтардың бipін-бipi тартатындығын көрсетеді.

9.1.2. Параллель тогы бар жіңішке шексіз өткізгіштердің өзара әсерлесу күші. Бip-бipiнeн r кашыктыкта орналаскан екі жіңішке шексіз өткізгіштердің (9.1.2.1-сурет) әсерлесу күшін анықтау үшін, алдыңғы пунктте табылған (9.1.1.10) өрнекті пайдалануға болады. Екі өткізгіштің де толык заряды нөлге тең болғандықтан, олардың арасында кулондық әсерлесу болмайды.

9.1.2.1 – сурет

Магниттік әсерлесу күшін табу үшін, (9.1.1.5) және (9.1.1.10) өрнектерін
колдануға болады

(9.1.2.1)

Мұндағы - екінші токты тасымалдайтын (тудыратын) бөлшектердің заряды, - бірінші токты тасымалдайтын зарядтардың көлемдік тығыздығы. Ток күшінің анықтамасы бойынша . Екінші токтың элементіне әсер ететін табу үшін -ді элементтегі зарядтар санына көбейту керек

(9.1.2.2)

Енді -екінші өткізгіштегі ток күшін аныктайтындығын ескерсек,

(9.1.2.3)

Соңғы формуланы қолдану үшін ток жүріп тұрған сымдардың диаметрлері олардың аракашыктығынан әлдекайда кем болуы керек, яғни

9 .1.3. Ток күшінің бірлігі. Өткізгіштің l ұзындығына келетін күш

(9.1.3.1)

Соңғы формулада катынасы ескерілген. Tepic таңба бip жаққа карай бағытталған токтардың тартылатынын, ал карама-карсы токтардың тебілетіндігін көрсетеді. Ток күшінің бірлігі үшін бip-бipiнeн 1м қашыктықта орналасқан екі жіңішке шексіз ұзын өткізгіштердің бірлік ұзындықтарына кенелетін магниттік әсер күші болған кездегі өткізгіштер аркылы жүретін токтың шамасы алынады. Бұл бірлікті ампер деп атап, А әрпімен белгілейді. Егер (9.1.3.1) өрнекте , деп алсак, -вакуумның абсолюттік магниттік өтімділігі деп аталады.

Электр және магнит өрістерінде козғалыстағы зарядка және тогы бар өткізгішке әсер ететін күштер. Лоренц және Ампер күштері.

Егер К және К’ координаталар системалары бipiнe-бipi қарағанда тұрақты жылдамдыкпен козғалатын инерциялық санау системалары болса, К' системасындағы күш F'(), К системасындағы күшпен F'(), салыстырмалылық теориясының бip инерциялық системадан екінші инерциялық системаға өткен кездегі күш құраушыларының түрлендірілу формулаларымен байланыскан.

(9.1.3.1.1)

,

Бұл түрлендірулер жалпы физика курсының механика бөлімінде корытылып шығарылады. Векторлык түрде (9.1.3.1.1) түрлендірулерді былай жазуға болады

(9.1.3.1.2)

мұндағы вектор құраушыларымен, ал вектор құраушыларымен анықталады. Сонымен, кіріспеде атап өткеніміздей, электрлік заряд электр және магнит өpicтepiмeн байланысты. Тыныштықтағы зарядтар электр өpici аркылы әсерлессе, козгалыстагы зарядтар электр жене магнит epicrepi аркылы әсерлеседі. Бip координаталар системасында электр өpici бар болса, екінші бip координаталар системасында тек магнит өpici болады және керісінше жағдайда орын алуға тиісті. Олай болса, электр және магнит өpicтepi бip-бipiмeн тығыз байланыскан. Әсерлесетін зарядтар тыныштыкта болса (u = 0) күш электр өpici векторымен аныкталады, ендеше электр өpici кернеулігін катынасы аркылы аныктауға болады. (9.1.3.1.2.) өрнектің оң жағындағы екінші мүше магнит өpiciмeн байланысты болуға тиісті. Егер магнит өpiciн сипаттайтын шаманы - магнит өpici индукциясы векторын катынасымен аныктасак, электр және магнит өрісіндегi q зарядка әсер ететін күш үшін

(9.1.3.1.3)

формуласын аламыз. Бұл формула Лоренц күшін анықтайды, оның оң жағындағы бipiншi мүше электр өpici тарапынан q зарядка әсер ететін күшті (2.1-пунктті кара) аныктаса, екінші мүшесі магнит өpici тарапынан q зарядка әсер ететін күштіi аныктайды

(9.1.3.1.4)

Соңғы формула тәжірибелерде байкалатын жағдайларды түсіндіреді. Шынында, тәжірибелер магнит өрісіндегi зарядка әсер ететін күшті зарядтың, жылдамдыктың және магнит өpici индукция векторының шамаларына тура пропорционал және u және В векторларына перпендикуляр болатындығын көрсетеді. Карастырып отырған бөлшектер алып жататын көлемнің dv элементіндегі бөлшектердің саны . Бұл элементке әсер ететін күш

(9.1.3.1.5)

Токтың тығыздығы екенін еске алсак,

(9.1.3.1.6)

Соңғы өрнек тогы бар өткізгіштің dv элементіне магнит өpici тарапынан әсер ететін күшті анықтайды. Ток тығыздығы dv элемент орналаскан нүктедегі мәніне тең. Егер ток және магнит өpici кеңістікте (тұтас өткізгіште) біркелкі таралмаған болса, яғни олар координаталарға тәуелді j(x,y,z), В(х,у,z) болса (9.1.3.6) өрнекті былай жазуға болады.

(9.1.3.1.7)

Бүкіл тогы бар өткізгішке әсер ететін күш

(9.1.3.1.8)

мұндағы - тогы бар өткізгіштің көлемі.

Тұрақты ток өте жіңішке өткізгіш арқылы жүретін болса, . Бұл кезде (9.1.3.1.6) өрнекті былай жазуға болады.

, (9.1.3.1.9)

Сызыкты токтың бағыты өткізгіш элементімен анықталатынвектормен бағыттас деп есептеуге болады (6.1.3.1.1-сурет), яғни

9.1.3.1.1-сурет

Олай болса,

(9.1.3.1.10)

Магнит өpici индукция векторы мен тогы бар өткізгіш элементінің арасындағы бұрышты деп белгілеп, (9.1.3.10) өрнекті төмендегідей түрде жазуға болады

(9.1.3.1.11)

Егер = 90° болса

(9.1.3.1.12)

Тогы бар сызықтык өткізгіштің бірлік ұзындығына әсер ететін күш

(9.1.3.1.13)

Карастырып отырған ток шексіз түсу ток (6.1.3.1.13) болсын және деп белгілейік. Енді тоққа әсер ететін магнит өpiciн басқа бip оған параллель шексіз түзу ток туғызады деп есептесек

(9.1.3.1.14)

Соңғы теңдікті болған кездегі (6.1.3.1.1) өрнекпен салыстырып, токқа әсер ететін оған параллель қашықтықта орналасқан жіңішке шексіз ұзын токтың тудыратын магнит өрісінің индукция векторы үшін

(9.1.3.1.15)

өрнегін табамыз.

Суперпозиция принципі бойынша козғалыстағы әpбip заряд бip-бipiнe тәуелсіз магнит өpiciн тудырады. Козғалыстағы зарядтар жиынының кеңістіктің белгілі бip нүктесіндегі тудыратын магнит өpiciнiң индукция векторы жеке зарядтардың осы нүктедегі тудыратын магнит өpici индукция векторларының , векторлық қосындысына тең

(9.1.3.1.16)

9 .2. Био-Савар-Лаплас заңы. Токтардың магниттік өзара әcepiн зерттеудегі негізгі мәселелердің бipi өткізгіште берілген заңдылықпен таралған токтың туғызатын магнит өpiciн есептеу. Бұл мәселені шешудің екі түрлі жолы бар.

Бipiншi жолы жылдамдықпен қозғалатын q зарядтың өзінің маңында туғызатын магнит өpiciн тәжірибе жүзінде зерттей отырып, осы зарядтан қашықтықта орналасқан нүктедегі магнит өpici индукция векторы үшін эмпирикалық әдіспен табылған:

(9.2.1)

формуланы пайдалану. Тогы бар өткізгіштің dV көлеміндегі бәpi жылдамдықпен қозғалатын зарядтардың саны (6.2.1-сурет) Суперпозиция принципі бойьшша осы зарядтардың dv элементтен

9.2.1-сурет

қашықтықтағы тудыратын магнит өрісінің индукциясын (9.2.1) формуланы пайдаланып есептеуге болады.

(9.2.2)

мұндағы -магнит өpici анықталатын нүктенің радиус-векторы, '-токтың dv элементі орналасқан нүктенің радиус-векторы, C:\r-f\-dVэлементтен магнит өpici анықталатын нүктеге дейінгі қашықтық. Енді токтың тығыздығы

екенін және оның радиус-векторы нүктедегі мәні алынатындығын ескеріп, (9.2.2) өрнекті былай жазуға болады.

(9.2.3)

Тогы бар өткізгіштің алынған нүктедегі туғызатын магнит өpiсі индукция векторын табу үшін, өткізгіш көлемі бойынша интеграл алу керек:

(9.2.4)

Егер ток жіңішке сым арқылы жүретін болса, яғни сызықты ток болса -ны ауыстырып, өткізгіш бойымен интеграл алу керек:

(9.2.5)

Екінші жолды Ампер көрсетті. Ампер токтардыц өзара әсерлесу заңдылықтарын зерттей отырып, магниттік өзара әсерлесуін ток элементтерінің өзара әсерлесуі негізінде түсіндіруге болатынын және бұл әсерлесуді математикалық түрде өрнектеуге болатынын көрсет және токтарының бip-бipiнeн арақашықтықта орналасқан және элементтерінің өзара әсерлесу күші

(9.2.6)

формуласымен анықталады (6.2.2-сурет). Бұл формула токтар элементтерінің өзара әсерлесу заңдылықтарын тәжірибе жүзінде зерттеу нәтижесінде эмпирикалық жолмен табылған.

9.2.2 – сурет

Егер (9.2.6) өрнекті элементтің элементке әсерін анықтайтын күшті 1→2 алмастыруының нәтижесінде табуға болады. Жалпы жағдайда және күштер Ньютонның үшінші заңын қанағаттандырмайды контурдағы токтың контурдагы токқа әсер күші

(9.2.7)

және контурдағы токтың контурдагы токқа әсер күші

Ньютонның үшінші заңын қанағаттандырады, яғни .

Екі ток элементтерінің өзара әсерлесуін бip элемент екінші элемент тұрған нүктеде магнит өpiciн тудырады, осы магнит өpici екінші элементке әсер етеді деп қарастыруға болады. Ол үшін (9.2.6) өрнекті төмендегідей түрде көшіріп жазалық:

(9.2.9)

Енді (9.2.9) өрнекті Ампер күшінің векторльқ түрімен

салыстырып, элементтің өзінен кашықтықта орналасқан нүктеде тудыратын магнит өрісінің индукциясы үшін

(9.2.10)

формуласын табамыз. Бұл формуладғы индекстерді тастап жазсақ және контур бойымен интеграл алсак,

(9.2.11)

мұндағы r dl элементтен магнит өpici анықталатын нүктеге дейінгі кашықтық, яғни (9.2.5) өрнектегі -тің мағынасымен бірдей, сондықтан (6.2.11) өрнекті былай көшіріп жазуға болады.

(9.2.12)

Соңғы өрнекті (9.2.5) өрнекпен салыстырып, екеніне көз жеткізуге болады. Белгілі заңдылықпен өткізгіште таралған көлемдік токтың, болмаса жіңішке сызыкты токтың тудыратын магнит өpici индукция векторын аныктайтын (9.2.3), (9.2.4) өрнектерді Био-Савар-Лаплас заңы деп атайды.

Био-Савар-Лаплас заңының қолданылуы ретінде l ток жүретін ұзындығы ток (өткізгіш) кесіндінің өзінен h кашыктықта тудыратын магнит өрісінің индукция векторын есептелік. (9.2.3-сурет)

9.2.3-сурет

Био-Савар-Лаплас заңы бойынша (9.2.10) А нүктесіндегі элементтің тудыратын магнит өрісінің бағыты сурет жазыктығына перпендикуляр байкаушыдан әpi карай бағытталған болады және оның шамасы төмендегі өрнекпен анықталады

мұндағы вектор мен векторының арасындағы бұрыш. Жоғарыда келтірілген суреттен , , екенін еске алсак,

(9.2.13)

Бірнеше дербес жағдайлар қарастыралық:

1) Тогы бар өткізгіш жіп шексіз болсын, яғни , . Бұл кезде

Табылған жауап толық әсерді салыстырмалық теориясы тұрғысынан карастырған кездегі жауаппен (9.1.3.15) дәл келеді.

2) Егер А нүктесі тогы бар кесіндінің орта тұсында орналаскан болса,

,

9 .3. Магнит өpici күш сызыктарының тұйықтық шарты. Тәжірибелер магнит өpici күш сызыктарының токтарды камтып жататындығын және тұйык болатынын, болмаса шексіздіктен басталып, шексіздікте аякталатынын көрсетеді. Сондыктан магнит өpici индукция векторының кез келген тұйық бет бойымен алынған ағыны нөлге тең болады, яғни

Bds=0 (9.3.1)

Бұл шарттың біртекті және симметриялы өpicтep үшін орындалатынына көз жеткізу қиын емес. Жалпы жағдайда (9.3.1) катынастың дұрыстығын математикалық әдіспен дәлелдеу қиын. Егер (9.3.1) шарт орындалатын болса, тендіктің сол жағына Гаусс-Остроградский теоремасын колдансак,

divBdV=0 (9.3.2)

тендік кез келген тұйык бет үшін орындалатын болғандықтан, (9.3.2) тендік те кез келген Vs көлем үшін орындалуға тиісті, олай болса интеграл астындағы өрнек нөлге тең болуы керек, яғни

divB = 0 (9.3.3)

соңғы дифференциалдық теңдеу магнит өpici күш сызыктарының тұйыктық шартының дифференциалдық түpi.

Енді шартының жалпы жағдайда орындалатынын көрсетелік. Ол үшін (9.2.4) өрнектің екі жағына да дивергенция операторымен әсер етелік, сол кезде

Интеграл астындағы өрнектің бірінші мүшесі нөлге тең, себебі ток тығыздығы радиус-векторға тәуелді емес. Екінші мүшесінің нөлге теңдігі

тепе-тендік түрде орындалуымен байланысты. Бұған көз жеткізу үшін grad операторының анықтамасын пайдаланып (9.3.5) тепе-теңдіктің сол жағын тікелей есептеуге болады. Шынында

Сонымен жалпы жағдайда , , яғни магнит өpici күш сызықтарының тұйық болатынына көз жеткіздік.