Харьковская академия непрерывного образования. Задания ІІ (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

Задания ІІ (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

Класс

1. Решите уравнение .

2. Даны три приведённых квадратных трёхчлена. Дискриминант каждого из них равен соответственно 1, 4 и 9. Можно ли выбрать по одному корню в каждом из данных трёхчленов так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней? Ответ объясните.

3. Окружность ω₁ проходит через центр окружности ω₂. Из точки C, лежащей на ω₁, проведены касательные к ω₂, пересекающие ω₁ в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.

4. Существует ли 2012 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2011 из них делится на оставшееся число? Ответ объясните.

Харківська академія неперервної освіти

Завдання ІІ (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

Клас

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Дано три зведених квадратних тричлени. Дискримінант кожного з них відповідно дорівнює 1, 4 і 9. Чи можна вибрати по одному кореню з кожного тричлена так, щоб їх сума дорівнювала сумі коренів, що залишилися? Відповідь поясніть.

3. Коло ω₁ проходить через центр кола ω₂. З точки C, що лежить на ω₁, проведено дотичні до ω₂, які перетинають ω₁ у точках A і B. Доведіть, що відрізок AB перпендикулярний до прямої, яка проходить через центри кіл.

4. Чи існує 2012 таких різних натуральних чисел, що сума будь-яких 2011 з них ділиться на число, яка залишилося? Відповідь поясніть.