ЛЕКЦіЯ № 3 Методи моделювання неперервних випадкових величин із заданим законом розподілу

Неперервні ВВ - це такі величини, можливі значення яких заповнюють якийсь інтервал (кінцевий чи нескінчений) на числовій осі. Можливі значення неперервних ВВ не можна заздалегідь перерахувати і їх кількість нескінчена (інтервали між поїздами; тривалiсть ТО, КО; вага брутто вагона і т.д.)

Неперервна ВВ задається функцією розподілу або густотою:

F(x) - функція розподілу (інтегральний закон розподілу);

f(x) - густота розподілу (диференціальний закон розподілу).

Функцією розподілу ВВ X називають функцію, яка задає ймовірність виконання нерівності X < x:

F(x) = P(X<x),

де P(X<x) - ймовірність того, що ВВ X у якомусь досліді стане меншим за будь-яке x.

Графічний спосіб моделювання ВВ.

Будуємо функцію розподілу ВВ

Звідси потрібно визначити значення x_i.

Беремо ВЧ [0,1] і відкладаємо його на осі ординат. Проводимо лінію, яка паралельна до осі абсцис до перетинання з графіком функції. З точки перетинання опускаємо вертикальну лінію на вісь абсцис (x) та отримуємо значення ВВ, яку розподілено за заданим законом.

Аналітичний спосіб моделювання ВВ.

За основу береться вислів F(x _i) = r_i і вирішується відносно x_i. Тоді

x_i = F^-1 (r_i),

де F^-1 - функція, яка є зворотною для функції розподілу F(x_i).

1. Рівномірний розподіл ВВ.

При цьому густота розподілу скрізь дорівнює 0, крім інтервалу [а, b], де вона постійна.

0 а в х 0 а в х

Густота розподілу Функція розподілу F(x) = P(X<x)

Так як F(x) = r_i, а , то звідси

x = (b-a) * r_i + a - вираз для моделювання значень неперервної ВВ, яку рівномірно розподілено [ а, b ].

Приклад.

Тривалість виконання технічного огляду составу рівномірно розподілено в інтервалі від 15 до 25 хвилин. Визначити тривалість технічного огляду 3 составів.

t_i = (t_max - t_min) * r_i + t_min, хв.

t_i = (25-15) * r_i + 15 = 10 * r_i + 15

t₁ = 10 * 0.070 + 15 = 0.7 + 15 = 15.7 хв.

t₂ = 10 * 0.963 + 15 = 9.63 + 15 = 24.6 хв.

t₃= 10 * 0.490 + 15 = 4.9 + 15 = 19.9 хв.

Розподіл Ерланга.

Однією з характеристик є параметр Ерланга К = 1-¥.

К = М [t]² / D[t] (округлюємо до цілого)

При К = 1 має місце показний розподіл.

Для показного розподілу:

густина розподілу f(t) = l e^-lt;

функція розподілу F(t) = 1- e^-lt,

де l = 1 / М[t] - інтенсивність потоку, тобто число подій, які настають за одиницю часу.

Так як F(t) = r_i, то r_i = 1- e^-lt

Це рівняння потрібно вирішити відносно t:

e^-lt = 1- r_i -lt ln e = ln (1-r_i) А ln e = 1, тоді

-lt = ln (1-r_i)

t = - ln (1-r_i) / l

Так як r_i розподілено рівномірно в [0,1], то і 1- r_i буде рівномірно розподілено в [0,1]. Тому, звичайно, r_i не віднімають від 1.

Тоді t = (- 1/l) * ln r_i

Так як М[t] = 1/l, то t_i = - M[t] * ln r_i - вираз для моделювання значень ВВ, яку розподілено за показним законом (К = 1)

Вираз для моделювання значень ВВ, яку розподілено за законом Ерланга (К = 1):

t_i = - (M[t] / К) * ln П r_j,

де К - параметр Ерланга;

П - добуток (П r_j = r₁ * r₂ *... * r_k)

Приклад.

Тривалість підтягування вагонів на сортувальній колії є випадковою величиною, яку розподілено за законом Ерланга з параметрами М[Т] = 3 хв., К = 2. Визначити тривалість підтягування для 3-х колій.

t_i = -3/2 * ln П r_j = -1.5 * ln П r_j , хв.

t₁ = - 1,5 * ln (0.635 * 0.520) = -1.5 * (-1.108) = 1.66 хв.

t₂= - 1,5 * ln (0.727 * 0.001) = -1.5 * (-7.227) = 10.84 хв.

t₁ = - 1,5 * ln (0.084 * 0.722) = -1.5 * (-2.803) = 4.2 хв.

Нормальний розподіл.

Функція розподілу при нормальному законі не може бути вирішена відносно ВВ (х), тому використовується метод, який ґрунтується на центральній граничній теоремі теорії ймовірності, згідно з якою сума достатньо великої кількості ВВ, розподілених за будь-яким законом розподілу, розподілено за нормальним законом.

Візьмемо å r_i, де r_i - ВЧ [0,1]

Математичне очікування: М[r] = (a+b) / 2 = (0+1) / 2 = 0.5

Дисперсія: D[r] = (b-a)² / 12 = (1-0)² / 12 = 1 / 12

Ми бажаємо, щоб дисперсія å r_i дорівнювала 1.

Дисперсія суми ВВ дорівнює сумі дисперсій.

D = n * 1 / 12 = 1, тоді n = 12.

Приймемо, що å r_i = Z, тоді М[Z] = (0+12) / 2 = 6, D[Z] = 1.

В підсумку, маємо ВЧ, яку розподілено нормально з параметрами

М[Z] = 0, D[Z] = 1, s [Z] = 1:

Z = å r_i - 6

Формула для моделювання значень ВВ, розподілено нормально:

x_j = M[x] + s [x] * Z_j

Приклад.

Тривалість безвідчіпного ремонту вагона розподілено за нормальним законом з параметрами M[T] = 10 хв., s[T] = 3 хв. Визначити тривалість ремонту 3-х вагонів.

1-й вагон.

å r_i = 0.728 + 0.430 + 0.899 + 0.982 + 0.168 + 0.482 + 0.592 + 0.253 + + 0.223 + 0.635 + 0.520 + 0.727 = 6.639

Z₁ = 6/639 - 6 = 0.639 t₁ = 10 + 3 * 0.639 = 11.92 хв.

2-й вагон.

å r_i = 4.832

Z₂ = 4.832 - 6 = - 1.168 t₂ = 10 + 3 * (-1.168) = 6.5 хв.

3-й вагон.

å r_i = 8.735

Z₃ = 8.735 - 6 = 2.735 t₃ = 10 + 3 * 2.735 = 18.21 хв.