Сложение

Прежде всего установим некоторые отношения между событиями. Рассмотрим события:

А — «появление трех очков при бросании игральной кости»,

В — «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости».

Очевидно, что если произошло событие А, то непременно произошло и событие В. В этом случае говорят «А влечет за собой В» (или «В является следствием А») и записывают А В (или В А).

Если события А и В таковы, что А В и В А, то есть наступление события А влечёт за собой наступление события В, и, наоборот, наступление события В влечёт за собой наступление события А, то они называются равными (равносильными), при этом пишут А = В.

Пример 1.

Брошена симметричная монета. Событие А — «появление герба», событие В — «непоявление цифры». Очевидно, что А В и В А и, следовательно, А = В.

Событие А может быть частью события В только в том случае, когда элементарные события, представляющие событие А, принадлежат подмножеству элементарных событий, представляющих событие В.

Пример 2.

В урне имеются пять белых шаров, перенумерованных от 1 до 5, и семь черных шаров, перенумерованных от 6 до 12. Очевидно, что событие А — «появление шара с номером 8», влечет за собой событие В — «появление черного шара». Поэтому А В.

Пример 3.

Брошены две игральные кости. Пусть событие А состоит в том, что сумма выпавших на костях очков четная, а событие В — в том, что на брошенных костях четности очков совпадают (т. е. либо на обеих костях выпало четкое число очков, либо на обеих нечетное). События А и В равны.

Так как события могут быть представлены в виде подмножеств множества элементарных событий, то действия над событиями выполняются аналогично действиям над множествами.

Определение 1. Суммой или объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

Символически записывают так: С = А + В или С = А U В.

Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств (подмножеств множества элементарных событий).

Суммой или объединением нескольких событий А₁, А₂,..., А_п называется событие С, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А₁, А₂,..., А_п. Символически:

С = или С =

Пример 4.

Найти сумму событий: А — «появление одного очка при бросании игральной кости» и В — «появление двух очков при бросании игральной кости».

Суммой А + В является событие С—«появление не больше двух очков при бросании игральной кости», поэтому

А + В = С.

Если события А и В — несовместные, то сумма A + В является событием, состоящим в осуществлении одного из этих событий, безразлично какого (их совместное осуществление невозможно).

Непосредственно из определения суммы событий вытекают следующие свойства сложения:

1) A +- В = В + А (коммутативность);

2) (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность)

3) А + = U.

События A₁ и A₂ называются несовместными, если их произведение—невозможное событие. События А₁, А₂,..., А_п называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

Говорят, что события А₁, А₂,..., А_п образуют полную систему событий, если их сумма является достоверным событием.

Если проведение некоторого опыта связано с системой попарно несовместных событий А₁, А₂,..., А_п, причем осуществление каждого из событий А₁, А₂,..., А_п равновозможно, то такой опыт будем называть опытом с равновероятными исходами. В этом случае будем говорить, что события А₁, А₂,..., А_п равновероятны, и вероятность каждого из них равна 1 /п. Сами события А₁, А₂,..., А_п называются исходами.