Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц, называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания. Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание (читается «не А», или «не верно, что А») – отрицание высказывания А. Высказывание истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А

Отрицание – одноместная, или унарная, операция. Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если - истинное высказывание, то - ложное высказывание (отрицание А).

Отметим, если в комнате холодно}, то в комнате не холодно}, но при этом высказывание в комнате жарко} отрицанием В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «и», называют конъюнкцией (произведением) этих высказываний: (выражение читается «А и В»).

Произведение истинно только в том случае, когда и А, и В одновременно истинны.

Таблица истинности для операции конъюнкции:

А	В

Пусть, например, , . Тогда высказывание и на 4} – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А = А_i º А ₁ Ù А ₂ Ù … Ù А_n

имеет значение «истина», если и А ₁, и А ₂, и … А_n истинны. Во всех других случаях эта конъюнкция имеет значение «ложь».

Пусть, например, А ₁ , А ₂ , А ₃ , А ₄ . Тогда высказывание

А ₂ Ù А ₃ Ù А ₄ º { 8 = 3 и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} – ложное,

в то время как высказывание

А ₁ Ù А ₃ Ù А ₄ º { 5 > 3 и отец старше сына и Мурманск севернее Смоленска} – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или», называют дизъюнкцией (суммой) этих высказываний: (выражение читается «А или В»).

Сумма является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

Таблица истинности для операции дизъюнкции:

А	В

Пусть, например, , . Тогда высказывание или – истинно, т.к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию дизъюнкции можно определить и для нескольких высказываний как связку высказываний, объединённых союзом «или»:

А = А_i º А ₁ Ú А ₂ Ú … Ú А_n.

В этом случае высказывание А истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний, входящих в связку.

Операция эквивалентности, или эквивалентность высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «тогда и только тогда, когда…», называют эквивалентностью высказываний А и В: .

Для эквивалентности используют знак (или ~).

Эквивалентность представляет собой истинное высказывание, когда высказывания и А, и В оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для операции эквивалентности:

А	В

Пусть является чётным}, является чётным}.

Высказывание является чётным тогда и только тогда, когда n – чётное число} есть эквивалентность высказываний А и В: .

Операция импликации, или импликация высказываний. Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи слов «если…, то…», называют импликацией высказываний А и В: (выражение читается «из А следует В», или «если А, то В»).

Импликация ложна только в том случае, когда А – истинное высказывание, а В – ложное. Во всех других случаях импликация имеет значение «истина».

Таблица истинности для операции импликации:

А	В

Первый член импликации – высказывание А – называется посылкой, или условием, второй член В – заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует всё что угодно.

Например, утверждения «если 6 – простое число, то » или «если , то существуют ведьмы» являются истинными. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример.

Пусть папа завтра получит премию}, папа завтра купит сыну велосипед}.

Импликация может быть сформулирована так: «если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».

Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.

Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».

Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).

Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В – ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.

Задача 1. Даны два высказывания и . В чём заключаются высказывания , , , ? Какие из этих высказываний истинны и какие ложны?

Решение.

1) Высказывание , очевидно, ложно. Для того чтобы произведение двух высказываний было истинным, нужно чтобы оба высказывания были истинными.

2) Высказывание истинно, т.к. одно из слагаемых является истинным высказыванием.

Высказывание можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства .

3) Эквивалентность тогда и только тогда, когда представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.

4) Импликация то является истинным высказыванием.

В самом деле, импликация согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В – ложно.·