Свойства линейных кодов

1. Любые К линейно-независимых кодовых слов задают все множество 2^к слов линейного кода и могут составить его образующую матрицу. Произвольная образующая матрица может быть приведена к каноническому виду суммированием строк по mod2.

Кодовые слова V_j являются линейно-независимыми, если сумма по модулю 2 вида

только когда все коэффициенты b_j равны 0.

2. Сумма по модулю 2 любого числа кодовых слов также является словом данного линейного кода.

3. Нулевая последовательность всегда является кодовым словом.

4. Кодовое расстояние d_min равно минимальному весу ненулевого кодового слова.

5.
Из любого линейного (n,k) кода с кодовым расстоянием d_min можно получить код (n-i, k-i) с кодовым расстоянием не меньше d_min. Для этого из образующей матрицы G исходного кода вычеркивают любые i строк и i, ставших нулевыми столбцов. Например, задан код (5,3) с образующей матрицей G, кодовое расстояние которого равно d_min=2.

Получим укороченный код (4,2), вычеркнув первую строку и первый столбец, ставший нулевым, в матрице G. Образующая матрица укороченного кода G' имеет вид

Кодовое расстояние укороченного кода d_min=2.