Пример №3

х⁵ – у⁵ х – у

х⁵ х⁴у х⁴ + х³у + х²у² + ху³ + у⁴

х⁴у – у⁵

х⁴у ± х³у²

х³у² – у⁵

х³у² ± х²у³

х²у³ – у⁵

х²у³ ± ху⁴

ху⁴ – у⁵

ху⁴ – у⁵

Таким образом, х⁵ – у⁵ = (х – у)(х⁴ + х³у + х²у² + ху³ + у⁴).

Обобщением результатов, полученных в примерах 2 и 3, являются две формулы сокращенного умножения:

(х + а)(х²ⁿ – х^2n–1a + х^2n–2a² – … + a²ⁿ) = х²ⁿ⁺¹ + a^{2n + 1};

(х – a)(х²ⁿ + х^2n–1a + х^2n–2a² + … + a²ⁿ) = х²ⁿ⁺¹ – a^{2n + 1}, где nÎ N.

Упражнения

Выполнить действия

1. (– 2х⁵ + х⁴ + 2х³ – 4х² + 2х + 4): (х³ + 2).

Ответ: – 2х² + х +2 – частное, 0 – остаток.

2. (х⁴ – 3х² + 3х + 2): (х – 1).

Ответ: х³ + х² – 2х + 1– частное, 3 – остаток.

3. (х² + х⁵ + х³ + 1): (1 + х + х²).

Ответ: х³ – х² + х + 1– частное, 2х – остаток.

4. (х⁴ + х²у² + у⁴): (х² + ху + у²).

Ответ: х² – ху + у²– частное, 0 – остаток.

5. (a³ + b³ + c³ – 3abc): (a + b + c).

Ответ: a² – (b + c)a + (b² – bc + c²) – частное, 0 – остаток.

Нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов