Деление многочленов

При делении многочлены представляются в канонической форме и располагаются по убывающим степеням какой-либо буквы, относительно которой определяется степень делимого и делителя. Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.

Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству:

< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток >.

Если многочлен степени n P_n(x) является делимым,

многочлен степени m R_k(x)является делителем (n ³ m),

многочлен Q_{n – m}(x) – частное. Степень этого многочлена равна раз-ности степеней делимого и делителя,

а многочлен степени k R_k(x) является остатком (k < m).

То равенство

P_n(x) = F_m(x)× Q_{n – m}(x) + R_k(x) (1.1)

должно выполняться тождественно, то есть, оставаться справедливым при любых действительных значениях х.

Ещё раз отметим, что степень остатка k должна быть меньше степени делителя m. Назначение остатка – дополнить произведение многочленов F_m(x) и Q_{n – m}(x) до многочлена, равного делимому.

Если произведение многочленов F_m(x)× Q_{n – m}(x) дает многочлен, равный делимому, то остаток R = 0. В этом случае говорят, что деление производится без остатка.

Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.

Пусть требуется разделить многочлен (5х⁵ + х³ + 1) на многочлен (х³ + 2).

1. Разделим старший член делимого 5х⁵ на старший член делителя х³:

.

Ниже будет показано, что так находится первый член частного.

2. На очередное (поначалу первое) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из делимого:

5х⁵ + х³ + 1 – 5х²(х³ + 2) = х³ – 10х² + 1.

3. Делимое можно представить в виде

5х⁵ + х³ + 1 = 5х²(х³ + 2) + (х³ – 10х² + 1). (1.2)

Если в действии (2) степень разности окажется больше или равна степени делителя (как в рассматриваемом примере), то с этой разностью действия, указанные выше, повторяются. При этом

1. Старший член разности х³ делится на старший член делителя х³:

.

Ниже будет показано, что таким образом находится второе слагаемое в частном.

2. На очередное (теперь уже, второе) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из последней разности

х³ – 10х² + 1 – 1×(х³ + 2) = – 10х² – 1.

3. Тогда, последнюю разность можно представить в виде

х³ – 10х² + 1 = 1×(х³ + 2) + (–10х² + 1). (1.3)

Если степень очередной разности окажется меньше степени делителя (как при повторе в действии (2)), то деление завершено с остатком, равным последней разности.

Для подтверждения того, что частное является суммой (5х² + 1), подставим в равенство (1.2) результат преобразования многочлена х³ – 10х² + 1 (см.(1.3)): 5х⁵ + х³ + 1 = 5х²(х³ + 2) + 1×(х³ + 2) + (– 10х² – 1). Тогда, после вынесения общего множителя (х³ + 2) за скобки, получим окончательно

5х⁵ + х³ + 1 = (х³ + 2)(5х² + 1) + (– 10х² – 1).

Что, в соответствии с равенством (1.1), следует рассматривать как результат деления многочлена (5х⁵ + х³ + 1) на многочлен (х³ + 2) с частным (5х² + 1) и остатком (– 10х² – 1).

Указанные действия принято оформлять в виде схемы, которая называется «деление уголком». При этом, в записи делимого и последующих разностей желательно производить члены суммы по всем убывающим степеням аргумента без пропуска.

5х⁵ + 0х⁴ + х³ + 0х² + 0х + 1 х³ + 2

5х⁵ +10х² 5х² + 1

х³ –10х² + 0х + 1

х³ + 2

–10х² + 0х – 1

Мы видим, что деление многочленов сводится к последовательному повторению действий:

1) в начале алгоритма старший член делимого, в последующем, старший член очередной разности делится на старший член делителя;

2) результат деления дает очередное слагаемое в частном, на которое умножается делитель. Полученное произведение записывается под делимым или очередной разностью;

3) из верхнего многочлена вычитается нижний многочлен и, если степень полученной разности больше или равна степени делителя, то с нею повторяются действия 1, 2, 3.

Если же степень полученной разности меньше степени делителя, то деление завершено. При этом последняя разность является остатком.