Некоторые применения двойного интеграла

Площадь плоской фигуры:

Объём цилиндрического тела:

Площадь поверхности , где D – проекция данной поверхности на плоскость ОХУ.

Масса плоской пластины: , где - поверхностная площадь пластины в точке М(х,у).

Пример: Вычислить площадь области, ограниченной линиями:

syms x y

>> ezplot(x*y-4) % строим область

>> grid on,hold on

>> ezplot(x^2-2*y)

>> plot([0 10],[4 4])

>> plot([0 0],[-1 10])

>> gtext('xy=4')

>> gtext('x^2=2y')

>> gtext('y=4')

Область правильная и нестандартная в направлении оси ОХ и ОУ. Разобъём её на две области в направлении оси ОУ. Найдем координаты точек пересечения линий:

[x,y]=solve('x*y=4','x^2=2*y') x =[ 2][ -1+i*3^(1/2)][ -1-i*3^(1/2)]

y =[ 2][ -1-i*3^(1/2)][ -1+i*3^(1/2)]

syms x y

>> S=int(int(1,x,0,sqrt(2*y)),y,0,2)+int(int(1,x,0,4/y),y,2,4) S =8/3+4*log(2)