![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует система из
линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число
называется размерностью (числом измерений) линейного пространства
и обозначается
. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве
найдется система, состоящая из
линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают:
). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).
Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства
, то любой вектор
может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
(8.4) |
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Действительно, размерность пространства равна
. Система векторов
линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора
, получаем линейно зависимую систему
(так как это система состоит из
векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.
Следствие 1. Если — базис пространства
, то
, т.е. линейное пространство является линейной оболочкой базисных векторов.
В самом деле, для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что включения
и
выполняются одновременно. Действительно, с одной стороны, любая линейная комбинация векторов линейного пространства принадлежит самому линейному пространству, т.е.
. С другой стороны, любой вектор пространства по теореме 8.1 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.
. Отсюда следует равенство рассматриваемых множеств.
Следствие 2. Если — линейно независимая система векторов линейного пространства
и любой вектор
может быть представлен в виде линейной комбинации (8.4):
, то пространство
имеет размерность
, а система
является его базисом.
В самом деле, в пространстве имеется система
линейно независимых векторов, а любая система
из большего количества векторов
линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы
. Значит,
и
— базис
.
Дата публикования: 2014-12-10; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!