Практическая область применимости явной и неявной схем

Явная схема обеспечивает хорошую точность расчета решений , имеющих непрерывные четвертые производные. Она позволяет рассчитывать менее гладкие и даже разрывные решения, хотя в последнем случае точность расчетов невелика и обычно возникает легкая «разболтка», связанная с немонотонностью схемы. Условие устойчивости явной схемы естественное, поскольку для получения хорошей степени точности тоже надо полагать ~ . Поэтому схему «крест» часто используют для практических расчетов.

Используя неявную схему, можно находить негладкие решения разностным методом. Многие задачи математической физике, описывающие ударные процессы в газах, жидкостях и твердых телах, приводят к проблеме нахождения негладких решений уравнений гиперболического типа второго порядка, простейшим представителем которых является уравнение колебаний струны. Поскольку такие решения не имеют производных второго порядка, уходящих в уравнение, то слова «решение удовлетворяет уравнению» следует понимать в обобщенном смысле. Одно из возможных определений обобщенных решений основывается на том факте, что дифференциальное уравнение является следствием интегрального закона сохранения, если существуют непрерывные производные, входящие в уравнение колебаний. В этом случае обобщенное решение определяется как функция , имеющая в области ограниченные кусочно-непрерывные производные , и удовлетворяющая интегральному соотношению , где - произвольная замкнутая кривая, лежащая в области . При изучении сходимости схемы с весами мы предполагали существование и достаточную гладкость решения задачи. Это возможно при выполнении определенных условий гладкости начальных данных. Сходится ли та же схема при условии, что есть обобщенное решение? Оказывается, что сеточное решение задачи сходится к обобщенному решению со скоростью .