Понятие устойчивости. Условия устойчивости динамических систем

Назначением систем управления является поддержание некоторого заданного режима функционирования управляемой системы, называемого невозмущенным движением.

Если на систему действует возмущение, то фактическое движение (которое называется возмущенным движением) будет отличаться от невозмущенного движения.

Понятие устойчивости - важнейшее понятие теории управления. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, если после окончания действия возмущения возмущенное движение с течением времени стремится к невозмущенному движению.

Для линейной невозмущенной системы описание задается системой дифференциальных уравнений. , где А – квадратная матрица n на n.

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического полинома были строго одного знака. Характеристический полином вычисляет как определитель (А–vE).

Основное условие устойчивости: для того чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т.е. имели отрицательную вещественную часть.

Теорема: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А лежали в левой полуплоскости. Такая матрица называется Гурвицевой.

Если динамическая система управления устойчива, то абсолютная величина действительной части наиболее левого собственного значения матрицы А(корня Фробениуса-Перрона) называется степенью устойчивости динамической системы.