Закон Джоуля-Ленца

С прохождением тока через проводник, обладающий сопро­тивлением, связано выделение теплоты. Задача — найти количество теплоты, выделяющееся за единицу времени на определенном участке цепи. Здесь возможны два случая — однородный и неоднородный участки цепи.

Однородный участок цепи. Пусть учас­ток заключен между сечениями 1 и 2 проводника. Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое сечение проводника пройдет заряд dq = I dt. В частности, такой заряд dqвойдет внутрь участка через сечение 1и та­кой же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Т. к. распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то про­цесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dqот се­чения 1 к сечению 2, имеющих потенциалы φ₁ и φ₂. Поэтому совершаемая при таком переносе работа сил поля д А=dq(φ₁-φ₂)=I(φ₁-φ₂)dt. Согласно закону сохранения энергии эквивалентная этой ра­боте энергия должна выделяться в иной форме. Если провод­ник неподвижен и в нем не происходят химические превраще­ния, то эта энергия должна выделяться в форме тепловой энергии.

Итак, согласно закону сохранения энергии элементарная ра­бота δА = Q^•dt, где Q^• — теплота, выделяемая в единицу времени. Из с пре­дыдущим равенством получаем Q=I(φ₁-φ₂). А т. к. по закону Ома φ₁ - φ₂ =RI, то Q=RI². (5.19) Эта формула выражает закон Джоуля—Ленца. Получим выражение этого закона в локальной форме, ха­рактеризующей выделение теплоты в различных местах прово­дящей среды. Для этой цели выделим в данной среде элемен­тарный объем в виде цилиндра с образующими || вектору j — плотности тока в данном месте. Пусть поперечное сечение цилинда dS, а его длина dl. Тогда на основании закона Джоуля-Ленца в этом объеме за время dt вы­деляется количество теплоты δQ=RI²dt=(jdS)²ρdldt/dS=ρj²dVdt, где dV=dSdl— объем цилиндра. Разделив последнее урав­нение на dVdt, получим формулу, которая определяет количе­ство теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводящей среды, — удельную тепловую мощность тока: Q_уд=ρj².(5.20)Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональ­на квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке. Если на носители тока дей­ствуют только электрические силы, то на основании закона Ома Q_уд=jE=σE².(5.21)

Неоднородный участок цепи. Если участок цепи содержит ис­точник эдс, то на носители тока будут действовать не только электрические силы, но и сторонние. В этом случае выделяемое в неподвижном проводнике тепло будет равно по закону сохра­нения энергии алгебраической сумме работ электрических и сто­ронних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: тепловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Умножим выражение RI=φ₁-φ₂+ε₁₂ на I: RI²=(φ₁-φ₂)I+εI.(5.22) Здесь слева стоит выделяющаяся на участке тепловая мощ­ность Q^•; при наличии сторонних сил величина Q^• определяется той же формулой (5.19), что и для однородного участка цепи. По­следнее же слагаемое справа представляет собой мощность, раз­виваемую сторонними силами на данном участке. Последняя величина (εI) является алгебраической: в отличие от RI²она изменяет знак при изменении направления тока I. Т. о., ур–ие (5.22) означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сто­ронних сил. Сумму этих мощностей, т. е. правую часть (5.22), называют мощностью токана рассматриваемом участке цепи. В случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока. Применив (5.22) ко всей неразветвленной цепи (тогда φ₁ = φ₂) получим Q=εI.(5.23) т. е. общее количество выделяемой за единицу времени во всей цепи джоулевой теплоты равно мощности только сторонних сил. Получим уравнение (5.22) в локальной форме. Для этого умножим обе части уравнения (5.11) на j, а также учтем, что σ = 1/ρ и ρj = Q^•_Уд [см. (5.20)]. Тогда удельная тепловая мощность тока в неоднородной проводящей среде Q_уд=ρj²=j(E+E*).(5.24)