Энергия электрического поля. Работа при поляризации диэлектрика. Система заряженных тел. Силы при наличии диэлектрика

О локализации энергии: в самом поле носителем энергии является само поле. Убедимся в этом на примере плоского конденсатора, пренебрегая краевым эффектом. Подстановка в формулу W = CU²/2 выражения С = εε₀S/h дает W=CU²/2=εε₀SU²/2h=½εε₀(U/h)²Sh. Апоскольку U/h = E и Sh = V (объем между обкладками кон­денсатора), то W=(εε₀E²/2)V=(ED/2)V(4.8).

Полученная формула справедлива для однородного поля, за­полняющего объем V. В случае неоднородного поля энергия Wдля изотропныхдиэлектриков определяется формулой

(4.9)

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью w =εε₀E²/2=ED/2(4.10). Эта формула справедлива только в случае изотропногодиэлектрика, для которого выполняется соотно­шение D = εε₀е.

Работа поля при поляризации диэлектрика. При одном и том же значении Е величина w при наличии диэлектрика оказывается в ε раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. Под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она складывается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика. Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величи­ну ε₀Е + Р, тогда w =ε₀E²/2+EP/2 (4.11). Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля E в вакууме. Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р'₊ и р'_ соответственно по и против поля — при возрастании напряженности от Е до Е + dE. Пренебрегая членами второго порядка малости: д А=ρ’₊Edl₊+ρ’_–Edl_,где dl₊ и dl_ — дополнительные смещения при увеличении поля наdE. Учитывая, что

р'_=–р'₊, получаем д А=ρ’₊(dl₊–dl_)E=ρ’₊dl E, где dl=dl₊—dl_— дополнительное смещение положительных за­рядов относительно отрицательных. p'₊dl = EdP, и δA = EdP. (4.12). Так как Р = χε₀Е, то

Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлек­трика A=EP/2 (4.13), что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11).Т. о., объемная плотность энергии w= ED/2 вклю­чает в себя собственную энергию поля ε₀E²/2 и энергию ЕР/2, связанную с поляризацией вещества.

Система двух заряженных тел. Представим систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле e_1; a другое — поле Е₂. Результирующее поле Е = Е₁ + Е₂ и квадрат этой величины Е² = Е²₁+ Е² ₂ +2E₁E₂. Поэтому полная энергия Wданной системы согласно (4.9) равна сумме трех интегралов:

(4.14). Первые два интеграла в (4.14) пред­ставляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел (W₁ и W₂), последний интеграл — энергию их взаимодействия (W₁₂)-

Силы при наличии диэлектрика. Электрострикция. На диэлектрик в электрическом поле действуют пондермоторные силы. Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля). Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика. Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют электрострикацией

Силы в жидком диэлектрике. Сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме (где ε = 1). Этот результат можно обобщить: при заполнении всего пространства, где есть элект­рическое поле, жидким или газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неиз­менных зарядах на них) уменьшаются в е раз: F = F₀/ε. (4.17)=>два точечных заряда q₁ и q₂, находящи­еся на расстоянии г друг от друга внутри безграничного жидко­го или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой F=|q₁q₂|/4πεε₀r² (4.18), т. е. тоже в ε раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выра­жает закон Кулона для точечных зарядов в безграничном диэ­лектрике.В однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила F, действующая на точечный заряд q, в ε раз меньше Е₀ и F₀ при отсутствии диэлектрика. А это значит, что сила F, действующая на точечный заряд q, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме: F = qE, (4.19), где E — напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помешают сторонний заряд q. Только в этом случае по силе F формула (4.19) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд — он сосредоточен на каком-то небольшом теле — будет действовать другое поле — не то, что в самом диэлектрике.

Постоянный электрический ток. Плотность тока. Уравнение непрерывности. Закон Ома для однородного проводника. Избыточный заряд внутри однородного проводника с током. Электрическое поле проводника с током.

Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны, ионы, или другие части­цы. При отсутствии электрического поля носители тока совершают хаотическое движение, и через любую по­верхность S проходит в обе стороны в среднем одинаковое чис­ло носителей того и другого знака, так что ток через поверхность S равен нулю. При включении же электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упо­рядоченное движение с некоторой средней скоростью u и через поверхность S появится ток. Т. о., электрический ток — это упорядоченный перенос электрических зарядов. Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, т. е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую по­верхность S в единицу времени: I = dq/dt[A]. Ток может быть распределен по поверхности, через которую он протекает, неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят век­тор плотности тока j. Модуль этого вектора численно равен от­ношению силы тока dI через элементарную площадку, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движе­ния носителей, к ее площади dS_┴: j = dI/dS_┴. За направление вектора j принимают направление вектора скорости и упорядо­ченного движения положительных носителей. Если носителя­ми являются как положительные, так и отрицательные заряды, то плотность тока определяется ф–лой

j=p₊u₊+ p_u_,(5.1), где р₊ и р_ — объемные плотности положительного и отрицате­льного зарядов-носителей; u₊ и u_ — скорости их упорядочен­ного движения. В проводниках же, где носителями являются только электроны (р_< 0 и u₊ = 0), плотность тока j = ρ_u_(5.2). Зная вектор плотности тока в каждой точке поверхности S,можно найти и силу тока через эту поверх­ность как поток вектора j: I=∫jdS (5.3)

Уравнение непрерывности. Представим в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S. Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовате­льно, и векторы dS принято брать наружу, поэтому интеграл ∮jdSдает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объ­ема V, охватываемого поверхностью S. В силу закона сохране­ния заряда этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V:

∮jdS= –dq/dt; ∮jdS=0 (5.4) Это уравнение непрерывности. В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т. е. в правой части dq/dt = 0. Преобразу­ем последние два уравнения к дифференциальной форме. Для этого представим заряд q как jρdF и правую часть (5.4) как

Здесь взят знак частной производной р по времени, поскольку р может зависеть не только от времени, но и от координат. Итак,

Получим, что дивергенция вектора j в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той же точке:Ñ ^. j=– д ρ/ д t. (5.6). Отсюда вытекает условие стационарности(когда д ρ/ д t=0): Ñ ^. j=0.(5.7)

Оно означает, что в случае постоянного тока поле вектора j не име­ет источников.

Закон Ома для однородного проводника. Cила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U): I = U/R (5.8), где R — электрическое сопротивление проводника.

Закон Ома в локальной форме. Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основа­нии (5.8) и (5.9) можно записать для такого элементарного цилиндра jdS=Edl/(ρdl/dS)=E/ρ=σE, где σ=1/р — удельная электропроводимость среды. Т. о., соотношение (5.10) устанавливает связь между величинами, относящимися к одной и той же точке про­водящей среды.

О заряде внутри проводника с током. Если ток постоянный, то избыточный заряд внутри однородного проводника всюду равен нулю. В самом деле, для постоянного тока справедливо уравнение (5.5). Перепишем его с учетом закона (5.10) в виде ∮σEdS=0, где интеграл взят по произвольной замкнутой поверхности S внутрипроводника. Для однородного проводника величину а можно вынести из-под интеграла: σ∮EdS=0. Оставшийся интеграл согласно теореме Гаусса пропорциона­лен алгебраической сумме зарядов внутри замкнутой поверхно­сти S, т. е. пропорционален избыточному заряду внутри этой поверхности. Но из последнего равенства видно, что этот интеграл равен нулю (т.к. σ≠0), а значит, равен нулю и избы­точный заряд. В силу произвольности поверхности S: избыточный заряд всюду внутри про­водника равен нулю.

Электрическое поле проводника с током. При протека­нии тока на поверхности проводника (область неоднородности) выступает избыточный заряд, а это означает, что снаружи проводника имеется нормальная составляющая вектора Е. Далее, из непре­рывности тангенциальной составляющей вектора Е приходим к выводу о нали­чии и тангенциальной составляющей этого вектора вблизи поверхности проводника. Таким образом, вектор Е вблизи поверхно­сти проводника составляет (при наличии тока) с нормалью к ней некоторый не рав­ный нулю угол. Если токи стационарны, то распределение электриче­ских зарядов в проводящей среде не меняется во времени, хотя и происходит движение за­рядов: в каждой точке на место уходящих зарядов непрерывно поступают новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигу­рации. Стало быть, электрическое поле стационарных токов — поле потенциальное. Кулоновское поле внутри про­водников при равновесии зарядов равно нулю. Электрическое поле у стационарных токов есть также кулоновское поле, одна­ко заряды, его возбуждающие, находятся в движении. Поэтому поле Е у стационарных токов существует и внутри проводников с током.