Обобщенный закон Ома. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Разветвление цепи. Правила Кирхгофа

Для количественной характеристи­ки сторонних сил вводят понятия поля сторонних сил и его на­пряженности Е*. Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд. Если под действием электрического поля Е в проводнике возникает ток плотности j=σЕ, то под совместным действием поля Е и поля сторонних сил Е* плотность тока j=σ(E+E*) (5.11). Это уравнение обобщает закон Ома на случай неоднород­ных участков проводящей среды. Оно выражает обобщенный закон Ома в локальной форме.

Закон Ома для неоднородного участка цепи. Рассмотрим случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, при­чем S может быть и не одинаковой по длине провода. Разделим уравнение (5.11) на σ, полученное выражение ум­ножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направ­лению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положитель­ное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

(5.12)

Преобразуем подынтегральное выражение у первого интег­рала: заменим σ на 1/р и j dl на j _{l __} dl, где j _{l __} — проекция вектора j на направление вектора dl. Далее учтем, что j _{l __} — величина алгебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j по отношению к dl: если j↑↑dl, то j_l >0, если же j ↑↓ dl, то j_l < 0. 3аменим j_l на I/S, где I— сила тока, величина тоже алгебраическая (как иj_l). Поскольку для постоянного тока I одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим

(5.13)

Выражение ρdl/Sопределяет сопротивле­ние участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения — полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2. Теперь обратимся к правой части (5.12). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов, а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу(эдс) ε, действующую на данном участке цепи: (5.14)

Эта величина, как и сила тока I, является алгебраической: если эдс способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ε₁₂ > 0, если же препятству­ет, то ε₁₂ < 0. После всех преобразований уравнение (5.12) бу­дет иметь следующий вид: RI=φ₁-φ₂+ε₁₂. (5.15) где положительным считается направление от точ­ки 1 к точке 2.

Это уравнение выражает закон Ома для неоднородного уча­стка цепи.

Вернемся к (5.15). Из этого уравнения следует, что для зам­кнутой цепи точки 1 и 2совпадают, φ₁ = ф₂ и оно приобретает более простой вид: RI=ε (5.16), где R представляет собой уже полное сопротивление замкнутой цепи, а ε — алгебраическую сумму эдс в данной цепи. Далее представим участок цепи, содержащий сам источ­ник эдс, — между его клеммами 1 и 2. Тогда в уравнении (5.15) для выбранного участка R— это внутреннее сопро­тивление источника, а φ₁ -φ₂ — разность потенциалов на его клеммах. Если источник разомкнут, то I = 0 и ε=φ₂–φ₁, т. е. эдс источника можно определить как разность потенциалов на его клеммах в разомкнутом состоянии.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа—алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ΣI_k=0.(5.17)

При этом токи, идущие к узлу, и токи, ис­ходящие из узла, следует считать величина­ми разных знаков. Уравнение (5.17) является следствием условия стационарности; если бы это было не так, в узле изменялся бы заряд и токи не были бы стационарными. Второе правило Кирхгофа — алгебраи­ческая сумма произведений сил токов в отдельных участ­ках произвольного замкнутого контура на их сопротивле­ния равна алгебраической сумме эдс, действующих в этом контуре: ΣI_kR_k=Σε_k. (5.18)Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда выделенный контур состоит из трех участков. Зададим направление обхода по часовой стрелке. Затем применим к каждому из трех участков закон Ома (5.15): I₁R₁=φ₂–φ₃+ε₁, I₂R₂=φ₃–φ₁+ε₂, I₃R₃=φ₁–φ₂+ε₃.

Сложив, приходим после сокращения всех потенциалов к форму­ле (5.18).