Дифференцируемость и дифференциал функции

Пусть функция z = ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М ₀(х ₀; у ₀). Составим полное приращение функции в точке М ₀(х ₀; у ₀):

Δ z = f (x ₀+Δ x, ₀ y +Δ y)– f (x ₀, y ₀).

Определение 1: Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М ₀(х ₀; у ₀), если её полное приращение в этой точке можно представить в виде:

Δ z = А ·Δ x + В ·Δ y + a ·Δ x + b ·Δ y,

где a = a (Δ х, Δ у)→0 и b = b (Δ х, Δ у)→0 при Δ х →0, Δ у →0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции.

Определение 2: Главная часть приращение функции z = ƒ (х; у), линейная относительно Δ х и Δ у, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz = A ·Δ x + B ·Δ y.

Определение 3: Выражения A ·Δ x и B ·Δ y называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δ х = dx и Δ у = dy. Поэтому равенство можно переписать в виде

dz = A · dx + B · dy.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции): Если функция z = ƒ (х; у) дифференцируема в точке М (х; у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz / dx и dz / dy, причём dz / dx = А, dz / dy = В.

Обратное утверждение не верно.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции): Если функция z = ƒ (х; у) имеет непрерывные частные производные в точке М (х; у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой:

Отметим, что для функции у = ƒ (х) одной переменной существование производной ƒ ¢(х) в точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z = ƒ (х; у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.