Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестности точки.

Определение 1: Множество всех точек М (х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется e –окрестностью точки М ₀(х ₀; у ₀). Другими словами, e -окрестность точки М ₀ – это все внутренние точки круга с центром М ₀ и радиусом e.

Определение 2: Пусть функция z = ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М ₀(х ₀; у ₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z = ƒ (х; у) при х → х ₀ и у → у ₀ (или, что то же самое, при М (х; у)→ М ₀(х ₀; у ₀), если для любого є >0 существует d >0 такое, что для всех х ≠ х ₀ и у ≠ у ₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство | ƒ (х; у)– А |< є. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М ₀ (число таких направлений бесконечно; в частности для функции одной переменной х → х ₀ по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число e >0, найдется d –окрестность точки М ₀(х ₀; у ₀), что во всех её точках М (х; у), отличных от М ₀(х ₀; у ₀), аппликаты соответствующих точек поверхности z = ƒ (х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на e.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ (М) и g (М) определены на множестве D и имеют в точке М ₀ этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ (М)± g (M), ƒ (М)· g (М), ƒ (М)/ g (М), имеют в точке М ₀ пределы, которые соответственно равны А ± В, А · В, A / B (В ≠0).

Определение 3: Функция z = ƒ (х; у) (или f (М)) называется непрерывной в точке М ₀(х ₀; у ₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой её окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М ₀, т. е.:

Определение 4: Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z = ƒ (х; у) могут образовывать целые линии разрыва. Например, функция имеет линию разрыва у = х.

Можно дать другое, равносильное приведённому выше, определение непрерывности функции z = ƒ (х; у) в точке.

Определение 5: Обозначим Δ х = х – х ₀, Δ у = у – у ₀, Δ z = ƒ (х; у)– ƒ (х ₀; у ₀). Величины Δ х и Δ у называются приращениями аргументов х и у, а Δ z – полным приращением функции ƒ (х; у) в точке М ₀(х ₀; у ₀).

Определение 6: Функция z = ƒ (х; у) называется непрерывной в точке М ₀(х ₀; у ₀)Î D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах — арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям.