ТЕМА 4: Средние величины

Средняя величина – это обобщающий показатель, хар-щий то общее, то типичное, что присуще всем ед. качественно-однородной сов-сти по вариации колич. признака в конкретных условиях места и времени.

- средняя величина есть единство индивидуального, особого, общего.

- средняя величина явл. абстрактной величиной, но рассчитывается на основании реальных исходных данных.

- средняя величина хар-ет всю однородную совокупность, но дается в расчете на ед. изучаемой сов-сти.

- средняя величина должна подкрепляться групповыми средними.

- необходим обоснованный выбор ед. сов-сти, по которым рассчитывается ср. величина.

Средние величины делятся на 2 класса:

1. Степенные средние:

-средняя геометрическая;

-средняя гармоническая;

-средняя арифметическая;

-средняя квадратическая.

2. Структурные средние:

-мода;

-медиана.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в 2-х формулах:

1. Простой – рассчитывается по не сгруппированным данным и имеет вид:

– варианта (индивидуальное) осредняемого признака

– показатель степени средней

– число вариант – средние величины

1. Взвешенной – рассчитывается по сгруппированным данным и имеет вид: – частота, показывающая, сколько раз встречается -е значение осредняемого признака в изучаемой совокупности.

Степенные средние:

1. - средняя арифметическая

¾ Взвешенная:

¾ Простая:

1. - средняя гармоническая

¾ Взвешенная:

¾ Простая:

1. - средняя геометрическая

¾ Взвешенная:

¾ Простая:

1. - средняя квадратическая

¾ Взвешенная:

¾ Простая:

Если рассчитать все виды СВ по одним и тем же данным, то они окажутся неодинаковыми. В данном случае действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени увеличивается соответствующая СВ:

Свойства ср. арифметической:

ü величина средней не измениться, если частоты или веса при каждой варианте признаки увелич. или уменьш. в одинаковое число раз.

ü алгебраическая сумма отклонений индивид. вариант от среднего значения равна 0.

Следствия:

- если частоты (f) при всех вариантах равны между собой, то ср. арифм. взвешенная равна ср. арифм. простой;

- при расчете ср. арифм. величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельный вес (долю) в общем итоге.

ü если все индивид. варианты вариац. ряда увелич. или уменьш. на постоянное число (А), то ср. величина увелич. или уменьш. на это же число.

ü произведение ср. величины на накопленную сумму частот рявняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту.

ü если все значения осредняемого признака поделить или умножить на пост. число (i), то ср. значение увелич. или уменьшю в (i)-раз.

Расчет средней величины по вариационному интервальному ряду обычным способом:

1. необходимо от интервальных значений признака (интервального ряда распределения) перейти к дискретным:

– нижняя граница интервала

– верхняя граница интервала

1. - арифметическая взвешенная

Расчет средней величины по вариационному интервальному ряду распределения по способу моментов (по способу условного нуля, упрощенным способом):

– величина интервала

- момент первого порядка

– постоянное число, которое превращает одну из строк в нуль.

Структурные средние применяются для:

1. Изучения внутреннего строения рядов распр-ния значений признака;

2. Оценки ср. величины.

Модой наз-ся то значение признака у ед. изучаемой сов-сти, которое встречается в ряду распр-ния с наибольшей частотой.

В дискретном ряду распределения мода опред. по наибольшей частоте.

В интервальном ряду распределения МОДА определяется по следующей формуле:

– нижняя граница модального интервала

– величина модального интервала

– частота модального интервала

– частота, предшествующая модальной частоте

– частота, следующая за модальной частотой

Медианой наз-ся значение признака у той ед. изучаемой сов-сти, которая делит упорядоченный ряд распр-ния на две равные части.

Медиана находиться по накопленной частоте (кумуляте)

В дискретном ряду распределения с нечетным количеством единиц МЕДИАНА определяется по формуле:

– нижняя граница медиального интервала

– величина медиального интервала

- полусумма частот

– сумма накопленных частот предшествующих частоте медиального интервала

– частота медиального интервала