Определение множества действительных чисел

Определение. Множество называется множеством действительных (вещественных) чисел, если для него выполняются следующие условия, называемые аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

,

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый суммой, причем выполняются следующие условия:

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. Существует элемент 0 (ноль) такой, что для любого

.

4. Для любого элемента существует элемент (противоположный) такой, что

.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

,

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением, причем выполняются следующие условия:

1. (коммутативность).

2. (ассоциативность).

3. Существует элемент (единица) такой, что для любого .

4. Для любого элемента существует элемент (противоположный) такой, что .

(I, II) Связь сложения и умножения

(дистрибутивность).

(III) Аксиомы порядка

Между элементами имеется отношение (отношение неравенства), то есть для любых элементов выполняется ли или , причем справедливы следующие условия:

1. и .

2. если и , то .

3. если , то для .

4. если и , то .

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если и - непустые подмножества , такие, что для любых элементов

и выполнено , то существует такое , что для всех

и .