Метод простой итерации

Функцию r (x,y), определяющую расстояние между точками x и y множества X назовем метрикой, если

1) r (x,y)³0

2) r (x,y)=0 • x=y

3) r (x,y)= r (y,x)

4) r (x,y)£ r (x,z)+ r (z,y).

Множество X с введенной метрикой r назовем метрическим пространством.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если .

Пространство называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.

Отображение F пространства E в себя называется сжимающим, если

x – неподвижная точка, если F(x)=x.

Чтобы погрешность вычислений была меньше наперед заданного числа ε, достаточно потребовать .

Пусть x(x₁,x₂,…,x_n) и y(y₁,y₂,…,y_n) – две точки n -мерного пространства.

I. Максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных в правой части системы, взятых по строкам, должна быть меньше единицы:

СЛУ преобразуется таким образом, чтобы выполнялось α < 1.

При этом СЛУ задает отображение, которое при α < 1 будет сжимающим. Значит, взяв любую точку в качестве начального приближения, получим последовательность точек, которая будет сходиться к неподвижной точке; это точка и будет решением системы.

Чтобы привести СЛУ к итерационному виду нужно:

1) с помощью равносильных преобразований привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами (по абсолютной величине);

2) разделить все уравнения на соответствующие диагональные коэффициенты и выразить из каждого уравнения неизвестное с коэффициентом, равным единице.

Если для этой системы α < 1, то система задает сжимающее отображение.

Рассмотрим на примере:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Преобразуем систему к итерационному виду, для чего поменяем местами 1-ую строку со 2-ой, после чего каждую строку разделим на соответствующие диагональные элементы.

Проверим, будет ли отображение сжимающим:

Запишем формулы для решения системы методом итераций:

Программа решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом простой итерации (с использованием евклидовой метрики):