Подходящие дроби, их свойства

Пусть – конечная или бесконечная цепная дробь.

Определение 1. Дроби , , и т.д.

Называются соответственно нулевой, первой и т.д.

k-ой подходящими дробями цепной дроби или соответствующего ей числа α.

Очевидно, что если α - рациональное число, то последняя подходящая
дробь есть число α.

Каждая подходящая дробь есть некоторое рациональное число. Поставим задачу найти общую формулу для вычисления подходящей дроби любого порядка.

Заметим, что s-я подходящая дробь получается путем замены

Рассмотрим выражение вида , где необязательно целые числа, и рассмотрим две последовательности чисел: , определенных рекуррентными соотношениями:

(6)

Теорема. Выражение , где s 0, равно

Доказательство. Докажем методом математической индукции. Для s =0,1,2 еаходим непосредственно

=

=

= = =

Предположим, что утверждение верно для n, т.е.

= .

Подставим в обе части равенства вместо выражение .

=

Теорема доказана.

Вернемся снова к цепным дробям. Мы получили хороший способ для вычисления подходящих дробей. По теореме n -я подходящая дробь равна , где вычисляются по рекуррентным формулам, причем - целые.

Вычисления по формулам удобно проводить с помощью таблицы:

s					…	s	s+1	…	n
					…			…
					…		…	…
					…		…	…

Например, для получения нужно стоящее над ним число умножить на стоящее слева от клетки для число и к результату прибавить стоящее слева от число .

Аналогично вычисляется и .

Замечание. Числа 1 и 0 поставлены во втором столбце с тем, чтобы это правило можно было применять и к вычислению и

Пример 1. Разложим в непрерывную дробь число и найдем все подходящие дроби разложения.

С помощью алгоритма Евклида получаем:

Подходящие дроби находим по схеме:

s

Последовательные подходящие дроби:

, , .