Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
$1. Понятие цепной дроби
Любое рациональное число t можно записать в виде
Представим число t в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Применим алгоритм Евклида к числам a и b; последовательно получим:
(1)
………………………………
где , причем так как .
Равенство (1) можно записать в следующем виде:
(2)
………………………….
Заменяя последовательно каждую из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки, получим представление дроби в виде
Определение 1. Выражение вида
(3)
Где , , называется конечной цепной или непрерывной дробью.
Числа называются как и в алгоритме Евклида неполными частными или элементами цепной дроби. Сокращенно цепную дробь будем обозначать: ].
Если = с – целое, то цепная дробь имеет вид [c].
Нами доказана следующая теорема:
Теорема 1. Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.
Примеры.
1)
37=15*2+7,
15=7*2+1,
7=1*7,
2)
13=141*0+13
141=13*10+11
13=11*1+2
11=2*5+1
2=1*2
3)
-43=15*(-3)+2
15=2*7+1
2=2*1
Следовательно,
4)
5)
6)9=[9]
7)-19=[-19]
Требование существенно для однозначной записи числа в виде цепной дроби.
Если допустить, что последнее неполное частное может равняться 1, то для всякого рационального числа можно получить два представления в виде конечной цепной дроби.
Пример.
2+
Теорема 2. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби
единственно.
Доказательство (от противного). Пусть возможны два представления числа
=[ =[ (4)
Тогда =
Рассмотрим второе слагаемое левой части равенства, обозначив его через c
Здесь все – натуральные.
Если n >1, то
Если n =1, то т.к. >1, то и в этом случае т.е. с – всегда правильная дробь.
Тогда = .
Аналогично: = .
Это значит, что — целые части одного и того же числа . Но так как целая часть числа определяется однозначно, то .
После вычитания из обеих частей (4) получим равные дроби с равными числителями, но тогда и знаменатели этих дробей равны, т. е.
=
Рассуждая аналогично, получим последовательно: и т.д.
Далее возможны три случая:
1) n=k; 2) n<k; 3) n>k.
1-й случай. n=k. Тогда
Теорема доказана.
2-й случай. n<k. Тогда получим
, (5)
где — целое число, а правая часть равенства (5) - число дробное.
Значит, случай n < к невозможен.
Аналогично доказывается невозможность и случая n > к. Остается первый случай: . Теорема доказана.
Теорема 3. Всякая конечная цепная дробь есть рациональное число.
Доказательство. Пусть дана цепная дробь (3). Если произвести указанные
арифметические действия над целыми числами 1 и то получим
рациональное число.
При доказательстве теоремы 2 получен другой способ разложения в цепную дробь, а именно - выделение целой части и обращение (переворачивание) дробной.
Пример.
Этот метод можно применить и к иррациональному числу.
Пример. – дробная часть числа a 1- целая. Из равенства найдем = ;
. Так как то, начиная с этого момента, неполные частные будут повторяться, т.е. Получим
бесконечную периодическую цепную дробь (бесконечная цепная дробь, в которой последовательность непарных частных, начиная с некоторого момента, повторяется, называется периодической).
Определение 2. Выражение вида , где называется бесконечной цепной дробью, а числа - ее элементами или неполными частными.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 2259 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!