Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Заказать  
 

Определение длины периода бесконечной десятичной дроби



Рассмотрим положительные правильные несократимые обыкновенные дроби, т.е. рациональные числа вида a/b , где а и b - натуральные числа и (a,b)=1.

Если а>b, то представим дробь a/b в виде n+a'/b где 0<а'<b, а n - целое число. Обратив a'/b в десятичную дробь 0,а12..., получим, что a/b=n,а12 .Поэтому достаточно рассмотреть лишь правильную дробь. Будем считать, что а<b.

Известно, что несократимая обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда ее знаменатель не делится ни на какое простое число, отличное от 2 и 5 . Действительно, a/(2k*5l )=(a*2l *5k)/10 k+l

Если же знаменатель несократимой дроби a/b делится на простое число p, отличное от 2 и 5 , то эта дробь обращается в некоторую бесконечную десятичную дробь: 0,а12 а3 , … , (3)

элементы а12 а3 , … , которой получаются из следующего ряда делений с остатком (так мы столбиком делим а на b):

10а = 1 + r1, 0 < r1< b,

10r1,=2 + r2, 0 < r2< b,

10r2,=3 + r3, 0 < r3< b,(4)

…………………………..

10rk-1,=k + rk, 0 < rk< b,

…………………………..

Из равенства 10rk-1,=k + rk следует, чтоk <10rk-1, а так как rk-1 <b, тоk <10rk-1 <10b . Следовательно, k <10b, т.е. аk <10. Таким образом, в записи дроби (3) каждое из чисел а12 а3 , … является цифрой в десятичной системе счисления. Запишем равенства (4) в виде сравнений:

10а = r1 (mod b),

10r1,= r2(mod b),

……………

10rk-1,= rk(mod b). (5)

Рассмотрим два случая, которые могут представиться при обращении обыкновенной дроби в бесконечную дробь.

1случай. Знаменатель несократимой дроби a/b не имеет простых делителей 2 и 5, т.е. (a, b) ≡1 и (b, 10) = 1.

Пусть при обращении данной дроби в десятичную получилась бесконечная десятичная дробь (3) и пусть k - показатель числа 10 по модулю

т.е.10k ≡1 (mod b). (6) Перемножим сравнения (5):

10kar1r2… rk-1 ≡ r1r2… rk-1rk (mod b), сократив на множитель r1... rk-1, взаимно простой с b, получим 10ka≡ rk (mod b), (7)

Из сравнения (6) следует, что a ≡ rk (mod b). А так как 0< а < b и 0 < rk <b, то rk = а.

Следовательно, аk+1 = а1 , аk+2 = а2 , …,а2k+1 = а1 …, т.е. элементы а1 , а2 ,…, аk дроби (3) периодически повторяются. Таким образом, дробь (3) является чистой периодической дробью с периодом (а1 , а2 ,…, аk).

Легко показать, что этот период является наименьшим. В самом деле, если бы повторение элементов дроби (3) начиналось с аk1 , где k1< k, т.е. rk1 = a, то сравнение (7) имело бы вид 10k1 аa (mod b), т.е. 10k1 ≡1 (mod b). Последнее сравнение противоречит определению показателя числа 10 по модулю b и доказывает наше утверждение.

Таким образом, можно считать доказанной теорему: несократимая обыкновенная дробь a/b , знаменатель которой взаимно прост с 10, обращается в бесконечную чисто периодическую дробь с длиной периода k, где k есть показатель, которому принадлежит число 10 по модулю b.

Заметим, что сравнение 10k ≡1 (mod b) имеет место тогда и только тогда, когда 10k -1⁞ b, но 10k -1есть целое число, записываемое k девятками. Следовательно, k есть число девяток в наименьшем из чисел, записываемых девятками, делящемся на b.

2 случай. Знаменатель несократимой дроби a/b содержит в своем каноническом разложении хотя бы одну двойку или пятерку, т.е. b = 2Р * 5q * b1, где хотя бы одно из чисел p, q отлично от нуля и (b1,10) = 1. Будем считать для определенности, что p>=q.

В этом случае a/b=a/(2Р*5q*b1)=(a5p-q )/(10Р*b1)= а1 /(10Р*b1)= (1/10Р)*1 /b1). Так как1 ,b1) = 1 и (b1,10) = 1, то по первому случаю дробь а1 /b1 обращается в чистую периодическую десятичную дробь. Пусть а1 /b1 = β, β1β2 … βs и lm … lp+1 lp … l1 есть запись числа β в десятичной системе счисления.

Тогда a/b=1/10Р lm lm-1 … l1 , (β1β2 … βs)=γ, lp lp-1 … l11β2 … βs).

(Здесь при i > т, li =0.)

Таким образом, если каноническое разложение знаменателя b несократимой дроби a/b имеет вид 2Р5qb1 , где (b1,10)=1, то дробь a/b обращается в бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь, у которой число цифр до периода равно наибольшему из чисел р и q, а длина периода равна показателю числа 10 по модулю b1 (числу девяток в наименьшем из чисел, записываемых девятками, делящемся на b1).

Пример Найти число цифр до периода и длину периода у десятичной дроби, полученной при обращении дроби 39/280 в десятичную.

Найдем каноническое разложение числа 280:280 = 23*5*7. Следовательно, до периода будет три цифры. Чтобы найти длину периода, надо найти наименьшее число, образованное девятками, делящееся на 7. Непосредственной проверкой убеждаемся, что числа 9,99,999,9999,99999 не делятся на 7, а число 999999 делится на 7. Следовательно, длина периода равна 6.

Заметим, что легче находить длину периода как показатель числа 10 по модулю 7, т.е. наименьшее натуральное число k, такое, что10k ≡1 (mod 7).

При этом полезно воспользоваться следующим свойством показателей: показатель, которому принадлежит число а по модулю т, является делителем числа φ(m).

В нашем примере φ(7) = 6. Следовательно, достаточно проверить, показатели: 1,2,3,6: 101 ≡ 3, 102 ≡ З2 ≡2, 103 ≡3*2 ≡ -l, 106≡1. Все сравнения по модулю 7. Следовательно, длина периода равна 6. Обращая данную дробь в десятичную, получим: 39/280 = 0,139(285714).

Рассмотрим обратную задачу.

Пусть с=0,( а1 … аn); 10n c= а1 … аn ,(а1 … аn)= а1 … аn+c; c=1 … аn)/(10n-1)=(а1 … аn)/99…9

Чтобы превратить правильную чисто периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо в числителе записать период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде.

Пусть теперь с=0,( b1 … bm ( а1 … аn); 10m+n c= b1 … bm а1 … аn, (а1 … аn);

10m c= b1 … bm,(а1 … аn); 10m+n c - 10m c= b1 … bm а1 … аn - b1 … bm;

c= (b1 … bm а1 … аn - b1 … bm )/((10n-1) 10m ).

Чтобы превратить правильную смешанную периодическую десятичную дровь в обыкновенную, надо из числа, стоящего между запятой и вторым периодом, вычесть число, стоящее между запятой и первым периодом, и эту разность сделать числителем. А в знаменателе взять столько девяток, сколько цифр в периоде, и сколько нулей, сколько цифр в предпериоде.





Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 6596 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2019 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.003 с)...Наверх