Свойства классов вычетов

1. .

2. (modm). (Таким образом, сравнение чисел можно заменить равенствам классов, и наоборот).

Доказательство.

Если а (mod m), то для любого (mod m). Тогда по транзитивности получаем x (modm). Следовательно, .

Еслиx (mod m). Т.к. , то (modm), т.е. х Следовательно , тогда .

Если ,то a т.е. а b(mod m).

3. Если два класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают.

Доказательство. Пусть , тогда . Следовательно, .

4. По модулю m существует ровно m классов вычетов .

Доказательство.

1. Классы не пусты (свойство 1).

2. Она различны (из единственности остатка от деления на m).

3. Вcе числа одного класса при делении на m дают один и тот же остаток: остатками могут быть только 0,1,2,...,m -1, т.е. записаны все классы вычетов и любое целое число принадлежит одному из этих классов. Множество всех классов вычетов по модулю m обозначают .

- множество целых чисел, имеющих остаток 1 при делении на 6, и т.д.

Теорема 6. Множество классов вычетов по данному модулю с операцией сложения — коммутативная группа.

Доказательство.

1. По определению представляет собой единственный класс по модулю m, т.е. сложение определено на множестве .

2. Сложение классов ассоциативно:

3.Роль нейтрального элемента выполняет класс .

4. Для каждого класса противоположным классом является- ,т.е. класс, содержащий -a; .

5. Сложение классов коммутативно: .

Пример. Напишем таблицы сложения и умножения для кольца Мы имеем 5 классов вычетов по модулю 5: .

Таблицы сложение и умножения имеют вид:

+

Теорема 7. Множество классов по данному модулю представляет собой коммутативное кольцо с единицей.

1. Множество < классов с операцией сложения представляет собой коммутативную группу.

2. замкнуто относительно умножения классов, т.к. по определению .

3. Умножение коммутативно:

4. Умножение ассоциативно:

5. Умножение и сложение связаны дистрибутивным законом:

6. Роль единицы играет класс .

Установив, что множество классов есть коммутативное кольцо, мы можем считать доказанными все те свойства, которые верны для групп, для коммутативных колец: единственность нуля, свойства знаков,

дистрибутивность умножения относительно разности.

Теорема 8. Кольцо классов по составному модулю имеет делители нуля. Доказательство. Пусть m- составное, m = ab, 1<а<m,1<b<m. Тогда делители .

Теорема 9. является полем <=> m- простое.

Доказательство. Достаточность.

Пусть m = р простое. Докажем, что поле. Вспомним, что полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором всякий ненулевой элемент имеет обратный. В нашем случае кольцо коммутативно и . Поэтому остаётся лишь доказать, что для любого , существует обратный элемент.Если , то а не делится на р, т.е. (а, р) = 1 (свойство простых чисел). Тогда существуют целые u, v, что аиu+ pv=1(признак взаимно простых чисел) или аu-1=-pv; аи -1 делится на р. Следовательно, аu (mod р) или

Необходимость. Пусть - поле, тогда m - простое, иначе в были бы делители нуля. Докажем, что в поле нет делителей нуля. Пусть Т.к. каждый, отличный от нуля элемент в поле имеет обратный, то

существует

Итак, в поле произведение равно нулю, только если хотя бы один из сомножителей равен нулю.