Свойства НОК

1. .

2.Если k - натуральное, то

3.Если k - натуральное, a⁞k, b⁞k, то

4.Если (a,b)= 1, то [ a,b ] =ab.

Замечание. Свойство 1 доказывается аналогично свойству 5 НОД; остальные свойства можно доказать позже, используя следствие 3 из основной теоремы арифметики.

3. Взаимно простые числа. Их свойства. Простые и составные числа. Основное свойство простых чисел.

§5. Взаимно простые числа

Определение. Числа называют взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1.

Примеры. 1) 15, 21, 14 - взаимно простые числа, однако эти числа не являются попарно взаимно простыми.

2) 34, 53, 99, 115 - попарно взаимно простые числа, так как къъшшу простые каждые два числа этого ряда.

Свойства взаимно простых чисел.

1)(Признак взаимно простых чисел) (a, b) =1 тогда и только тогда, когда найдутся целые u и v, что аи + bv = 1.

Доказательство. Необходимость следует из свойства 2 НОД (линейная форма НОД). Докажем достаточность. Пусть d=(a, b). Тогда a⁞d, b⁞ d и au + bv⁞d, то есть l⁞d. Следовательно, d =1.

2)Если (a, b)=1 и (a, с) =1, то (а, bс) = 1.

Доказательство. Воспользуемся признаком. Существуют целые

x,y, u, v, что ах+by=1 и au + cv =1. Перемножив эти равенства, получим а(ахи + xcv+buy) + bc(yv) =1, то есть а +bc =1 или (а, bс)=1.

3)Если ab⁞c и (a, с)=1, то b с.

Доказательство. Существуют целые u,v, что au + cv =l. Умножим обе части равенства на b: abu + cbv = b. Так как ab⁞с и c⁞c, то ((ab)u + cbv)⁞ с, то есть b с.

4) Если a⁞b, a⁞c и (b, с) = 1, то a⁞bc.

Доказательство. Существуют целые u, v, что bu+cv=1. Умножим обе части равенства на а: abu + acv = а. Так как а с, b:b, то

ab ⁞ bc. Так как а b, с⁞с, то ac⁞bc. Следовательно, (abu + acv) ⁞ bc и a⁞bc.